Encontre as coordenadas de
v=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\\\ 4 & -7 \end{array}\right)
no espaço vetorial real M_{2}(\mathbb{R}) em relação à base
E=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
v = \begin{pmatrix}2 & 3\\[6pt]4 & -7\end{pmatrix}
no espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) e a base
E = \Bigl\{E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}\Bigr\}
com
E_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{4}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Queremos achar as coordenadas de v nessa base, ou seja expressá-la como combinação linear de E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}.]

Passo 2

Suponha que existam escalares x,y,z,w\in\mathbb{R} tais que
v = x\,E_{1} + y\,E_{2} + z\,E_{3} + w\,E_{4}.
Como cada E_{i} tem um único elemento não nulo, a combinação fica
x\,E_{1} + y\,E_{2} + z\,E_{3} + w\,E_{4} = \begin{pmatrix}x & y\\[6pt]z & w\end{pmatrix}.
]

Passo 3

Igualando essa expressão com
v = \begin{pmatrix}2 & 3\\[6pt]4 & -7\end{pmatrix},
vemos que
x = 2,\quad y = 3,\quad z = 4,\quad w = -7.
Logo, esses são exatamente os coeficientes na base E.]

Resposta

As coordenadas de v em relação à base E são (2,3,4,-7).

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