Sejam x e y vetores não-nulos em
e
, respectivamente, e seja
.
(a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que
é uma base para o espaço linha de A.
(a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que
Passo 1
O enunciado define uma matriz
, com
e
não-nulos. Precisamos mostrar que o espaço coluna de
é um subespaço unidimensional gerado por
, e que o espaço linha de
é um subespaço unidimensional gerado por
. Vamos usar a definição de espaço coluna como o span das colunas de
e de espaço linha como o span das linhas de
, além de verificar independência linear.
Passo 2
Cada coluna
de
é dada pelo produto da coluna
pelo escalar
, onde
é o
-ésimo componente de
. Explicitamente,
Logo cada coluna está em
, de modo que
Como
, existe algum índice
tal que
. Daí
o que mostra
. Consequentemente,
Passo 3
Como
, o conjunto
é linearmente independente e gera exatamente
. Portanto
é base do espaço coluna de
.
Passo 4
De modo análogo, a
-ésima linha de
é
onde
é o
-ésimo componente de
. Assim cada linha está em
, ou seja
Como
, existe
com
e daí
logo
e, por fim,
Resposta
A base do espaço coluna de
é
e a base do espaço linha de
é
.