Sejam x e y vetores não-nulos em R^m e R^n, respectivamente, e seja A=xy^T.
(a) Mostre que [x| é uma base para o espaço coluna de A e que y^T é uma base para o espaço linha de A.

Passo 1

O enunciado define uma matriz A = x,y^T, com xinR^m e yinR^n não-nulos. Precisamos mostrar que o espaço coluna de A é um subespaço unidimensional gerado por x, e que o espaço linha de A é um subespaço unidimensional gerado por y^T. Vamos usar a definição de espaço coluna como o span das colunas de A e de espaço linha como o span das linhas de A, além de verificar independência linear.

Passo 2

Cada coluna A(:,j) de A é dada pelo produto da coluna x pelo escalar yj, onde yj é o j-ésimo componente de y. Explicitamente,
A(:,j) =x,yj =yj,x
Logo cada coluna está em spanx, de modo que
Col(A)subseteqspanx
Como yneq0, existe algum índice k tal que ykneq0. Daí
A(:,k)=yk,x Longrightarrow x=1yk,A(:,k)inCol(A),
o que mostra spanxsubseteqCol(A). Consequentemente,
Col(A)=spanx

Passo 3

Como xneq0, o conjunto x é linearmente independente e gera exatamente Col(A). Portanto x é base do espaço coluna de A.

Passo 4

De modo análogo, a i-ésima linha de A é
A(i,:) =xi,y^T,
onde xi é o i-ésimo componente de x. Assim cada linha está em spany^T, ou seja
Row(A)subseteqspany^T
Como xneq0, existe i com xineq0 e daí
y^T=1xi,A(i,:)inRow(A),
logo spany^TsubseteqRow(A) e, por fim,
Row(A)=spany^T

Resposta

A base do espaço coluna de A é x e a base do espaço linha de A é y^T.

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