Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais, onde
. A pergunta é para verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de espaços vetoriais e subespaços, além de entender como a derivada de um polinômio funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço. Para
ser um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: o polinômio zero deve estar em
. - Fechado sob adição: se dois polinômios estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se um polinômio está em
e a gente multiplica ele por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o
dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos ver se ele satisfaz a condição de
:
Então, o vetor zero está em
.
2. Verificando a fechamento sob adição:
Suponha que
e
estão em
. Isso significa que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso pode ser reescrito como:
Notamos que:
Portanto:
Assim,
também está em
.
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Suponha que
está em
e
é um escalar real. Temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso pode ser escrito como:
Portanto,
também está em
.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), concluímos que
é um subespaço de
.