Seja V=Pn(R), n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=p(x) in V: p(x)+p^prime(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais, onde . A pergunta é para verificar se o subconjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar conhecimentos de espaços vetoriais e subespaços, além de entender como a derivada de um polinômio funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço. Para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: o polinômio zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: se dois polinômios estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se um polinômio está em e a gente multiplica ele por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em p(x) + p^prime(x) = 0 + 0 = 0 :
O vetor zero em p(x) + p^prime(x) = 0 e q(x) + q^prime(x) = 0 é o polinômio p(x) + q(x) + p^prime(x) + q^prime(x) = 0 + 0 = 0 . Vamos ver se ele satisfaz a condição de (p(x) + q(x)) + (p^prime(x) + q^prime(x)) = 0 :
(p + q)^prime(x) = p^prime(x) + q^prime(x)
Então, o vetor zero está em (p + q)(x) + (p + q)^prime(x) = 0 .
2. Verificando a fechamento sob adição:
Suponha que p(x) + p^prime(x) = 0 e c cdot p(x) + c cdot p^prime(x) = 0 estão em c cdot p(x) + (c cdot p(x))^prime = 0 . Isso significa que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso pode ser reescrito como:
Notamos que:
Portanto:
Assim, também está em .
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Suponha que está em e é um escalar real. Temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso pode ser escrito como:
Portanto, também está em .

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), concluímos que é um subespaço de .

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