Seja V o primeiro quadrante do plano x y, ou seja,
V=[l x y ]: x >= 0, y >= 0
b) Determine um vetor específico v em V e um escalar específico c tal que c v não pertence à V. (Isso é suficiente para mostrar que V não é um espaço vetorial.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que seguem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Aqui, o conjunto é o primeiro quadrante do plano , ou seja, todos os vetores onde e são maiores ou iguais a zero. A tarefa é encontrar um vetor em e um escalar tal que, quando multiplicamos por , o resultado não está mais em . Isso vai mostrar que não é um espaço vetorial.

Passo 2

Vamos escolher um vetor específico em 1 1 . Um bom exemplo é . Esse vetor está no primeiro quadrante porque tanto quanto são iguais a 1, que são maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um escalar cv = -1 times 1 1 = -1 -1 que, ao multiplicar , faça com que o resultado não esteja mais em . Se escolhermos , a multiplicação fica assim:
Observe que agora tanto o quanto o são negativos.

Passo 4

Vamos verificar se -1 -1 está em . O conjunto inclui apenas vetores onde e . No nosso caso, tem e , que são menores que zero. Portanto, não está em .

Resposta

Um vetor específico em 1 1 é -1 -1 e o escalar . Assim, não pertence a , demonstrando que não é um espaço vetorial.

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