Seja
o primeiro quadrante do plano
, ou seja,
b) Determine um vetor específico
em
e um escalar específico
tal que
não pertence à
. (Isso é suficiente para mostrar que
não é um espaço vetorial.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que seguem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Aqui, o conjunto
é o primeiro quadrante do plano
, ou seja, todos os vetores onde
e
são maiores ou iguais a zero. A tarefa é encontrar um vetor
em
e um escalar
tal que, quando multiplicamos
por
, o resultado
não está mais em
. Isso vai mostrar que
não é um espaço vetorial.
Passo 2
Vamos escolher um vetor específico em
. Um bom exemplo é
. Esse vetor está no primeiro quadrante porque tanto
quanto
são iguais a 1, que são maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um escalar
que, ao multiplicar
, faça com que o resultado não esteja mais em
. Se escolhermos
, a multiplicação fica assim:
Observe que agora tanto o
quanto o
são negativos.
Passo 4
Vamos verificar se
está em
. O conjunto
inclui apenas vetores onde
e
. No nosso caso,
tem
e
, que são menores que zero. Portanto,
não está em
.
Resposta
Um vetor específico em
é
e o escalar
. Assim,
não pertence a
, demonstrando que
não é um espaço vetorial.