Seja
uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja
um subespaço não nulo. Prove que:
(b) Se
, além de injetora, é sobrejetora, então
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Estamos olhando para uma transformação linear
que é injetora e também sobrejetora. Nosso objetivo aqui é provar que, se
tem essas duas propriedades (é injetora e sobrejetora), então as dimensões de
e
são iguais, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
ser injetora. Uma transformação linear
é injetora se sempre que
, então
. Isso basicamente significa que
não “colapsa” diferentes vetores de
para o mesmo vetor em
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
ser sobrejetora. Uma transformação linear
é sobrejetora se para todo vetor
em
, existe pelo menos um vetor
em
tal que
. Em outras palavras,
“cobre” todo o espaço
.
Passo 4
Sabemos que, para transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita, ser injetora implica que a dimensão do domínio
é menor ou igual à dimensão do contradomínio
, ou seja:
Isso ocorre porque cada vetor em
é mapeado para um vetor único em
, mas
pode ter mais “espaço” para acomodar todos esses vetores.
Passo 5
Por outro lado, ser sobrejetora implica que a dimensão do contradomínio
é menor ou igual à dimensão do domínio
:
Isso acontece porque todo vetor em
precisa ser alcançado por algum vetor em
, então
precisa ter “pelo menos” tanta dimensão quanto
.
Passo 6
Agora, juntando essas duas desigualdades:
A única possibilidade é que
. Ou seja, as dimensões de
e
devem ser iguais.
Resposta
Portanto, se uma transformação linear
é injetora e sobrejetora, então
.