Seja T: V W uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja H subset V um subespaço não nulo. Prove que:
(b) Se T, além de injetora, é sobrejetora, então dim V=dim W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Estamos olhando para uma transformação linear que é injetora e também sobrejetora. Nosso objetivo aqui é provar que, se tem essas duas propriedades (é injetora e sobrejetora), então as dimensões de e são iguais, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser injetora. Uma transformação linear é injetora se sempre que , então . Isso basicamente significa que não “colapsa” diferentes vetores de para o mesmo vetor em .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ser sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, “cobre” todo o espaço .

Passo 4

Sabemos que, para transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita, ser injetora implica que a dimensão do domínio dim V <= dim W é menor ou igual à dimensão do contradomínio , ou seja:
Isso ocorre porque cada vetor em é mapeado para um vetor único em , mas pode ter mais “espaço” para acomodar todos esses vetores.

Passo 5

Por outro lado, ser sobrejetora implica que a dimensão do contradomínio dim W <= dim V é menor ou igual à dimensão do domínio :
Isso acontece porque todo vetor em precisa ser alcançado por algum vetor em , então precisa ter “pelo menos” tanta dimensão quanto .

Passo 6

Agora, juntando essas duas desigualdades:
dim V <= dim W e dim W <= dim V
A única possibilidade é que . Ou seja, as dimensões de e devem ser iguais.

Resposta

Portanto, se uma transformação linear é injetora e sobrejetora, então .

Exercícios relacionados