Seja V=R^2
Definamos: (x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(3 y+3 y^prime,-x-x^prime) e c odot(x, y)=(3 c y,-c x). Verifique se V é um espaço vetorial real ou não.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 as operações
(x,y)oplus(x',y') = (3y+3y',,-x-x') e codot(x,y) = (3c,y,,-c,x)
Para que V seja um espaço vetorial real, (V,oplus) deve ser um grupo abeliano. Em particular, deve existir um elemento neutro aditivo ein V tal que, para todo (x,y)in V,
(x,y)oplus e = (x,y)

Passo 2

Suponha que exista e=(a,b) em V com
(x,y)oplus(a,b) = (x,y) forall,(x,y)
Pelo definição de oplus,
(x,y)oplus(a,b) = (3y+3b,,-x - a)
Para que isto valha igual a (x,y) para todo (x,y), devemos ter simultaneamente
3y + 3b = x e -,x - a = y
para todo x,y. Mas a primeira igualdade diz que x deve depender de y, o que é impossível para um mesmo par (a,b) funcionar para todos os (x,y). Logo, não existe neutro aditivo em (V,oplus).

Resposta

V não é um espaço vetorial real, pois falta o elemento neutro aditivo para a operação oplus.

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