Sejam z1=a1+i b1 e z2=a2+i b2 dois complexos. Mostre que:
b) z1 z2=z1 z2;

Passo 1

O enunciado nos dá dois números complexos
z1 = a1 + i b1
z2 = a2 + i b2
e pede para mostrarmos a propriedade da conjugação que diz
z1 z2 = z1,z2
Para isso, vamos primeiro calcular o produto z1z2 e depois comparar a sua conjugada com o produto z1;z2.

Passo 2

Calculemos o produto
z1z2 = (a1 + i b1)(a2 + i b2)
Usando distributiva e i^2 = -1, obtemos
z1z2 = a1a2 + i,a1b2 + i,b1a2 + i^2,b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i,(a1b2 + b1a2)

Passo 3

Agora tomamos a conjugada de z1z2. Se
z1z2 = X + iY,
onde X = a1a2 - b1b2 e Y = a1b2 + b1a2, então
z1z2 = X - iY = (a1a2 - b1b2) - i,(a1b2 + b1a2)

Passo 4

Por outro lado, calculemos z1 e z2 separadamente:
z1 = a1 - i b1, z2 = a2 - i b2
O produto dessas duas é
z1;z2 = (a1 - i b1)(a2 - i b2) = a1a2 - i,a1b2 - i,b1a2 + i^2,b1b2
= (a1a2 - b1b2) - i,(a1b2 + b1a2)

Passo 5

Comparando os resultados de z1z2 e de z1;z2, vemos que ambos são iguais a
(a1a2 - b1b2) - i,(a1b2 + b1a2)
Logo a propriedade está demonstrada.

Resposta

z1 z2 = z1,z2

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