Sejam z1=a1+i b1 e z2=a2+i b2 dois complexos. Mostre que:
a) z1+z2=z1+z2;

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de linearidade da conjugação em relação à soma de dois números complexos. Temos
z1 = a1 + i,b1, z2 = a2 + i,b2,
e sabemos pela definição que, para qualquer número complexo w = a + i,b, seu conjugado é
w = a - i,b
Vamos calcular os dois lados de z1 + z2 = z1 + z2 e mostrar que coincidem.

Passo 2

Calculemos primeiro a soma
z1 + z2 = (a1 + a2) + i,(b1 + b2)
Aplicando o conjugado a esse resultado, pela definição obtemos
z1 + z2 = ,(a1 + a2) + i,(b1 + b2), = (a1 + a2) - i,(b1 + b2)

Passo 3

Agora calculemos separadamente a soma dos conjugados:
z1 + z2 = l(a1 - i,b1r) + l(a2 - i,b2r) = (a1 + a2) - i,(b1 + b2)

Passo 4

Vemos que
z1 + z2 = (a1 + a2) - i,(b1 + b2) = z1 + z2,
o que encerra a demonstração.

Resposta

z1 + z2 ;=; z1 ;+; z2

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