Seja V=R^3. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=(x, y, z) in R^3 ; x+z=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)inR^3 mid x+z=0 e y=0
é subespaço de V=R^3. O conteúdo é subespaço vetorial: precisamos checar que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. Para (x,y,z)=(0,0,0) temos
x+z = 0+0 = 0 e y=0,
logo (0,0,0)in W, ou seja, W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Sejam u=(x1,0,z1) e v=(x2,0,z2) em W. Então
x1+z1 = 0, x2+z2 = 0
A soma é
u+v = (x1+x2,,0+0,,z1+z2) = (x1+x2,,0,,z1+z2)
E
(x1+x2)+(z1+z2) = (x1+z1)+(x2+z2) = 0+0 = 0,
portanto u+vin W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja u=(x,0,z)in W e lambdainR. Então
lambda u = (lambda x,,lambdacdot 0,,lambda z) = (lambda x,,0,,lambda z)
E
(lambda x)+(lambda z) = lambda,(x+z) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda uin W.

Resposta

Sim, W é subespaço de R^3.

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