Seja
. Verifique se os subconjuntos
de
são subespaços. Justifique suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
. Para isso, vamos lembrar que um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo em
temos
logo
. Portanto,
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob adição. Sejam
e
em
. Então
Ao somar coordenada a coordenada obtemos
Logo
, mostrando fechamento sob soma.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
. Multiplicando por
,
Portanto
, mostrando fechamento sob escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço de
.