Seja V=R^2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=(x, y) in R^2 ; x-3 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y)in R^2 mid x - 3y = 0
é subespaço de R^2. Para isso, vamos lembrar que um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a W. Substituindo em x - 3y = 0 temos
0 - 3cdot 0 = 0,
logo (0,0)in W. Portanto, W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em W. Então
x1 - 3y1 = 0 e x2 - 3y2 = 0
Ao somar coordenada a coordenada obtemos
(x1 + x2) - 3(y1 + y2) = (x1 - 3y1) + (x2 - 3y2) = 0 + 0 = 0
Logo (x1+x2,,y1+y2)in W, mostrando fechamento sob soma.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e (x,y)in W. Então x - 3y = 0. Multiplicando por alpha,
(alpha x) - 3(alpha y) = alpha,(x - 3y) = alphacdot 0 = 0
Portanto (alpha x,alpha y)in W, mostrando fechamento sob escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de R^2.

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