Seja V=R^3. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=(x, y, z) in R^3 ; x=z+1.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
W = l(x,y,z)inR^3 mid x = z + 1r
Queremos verificar se W é um subespaço de V. Para isso, lembramos que basta checar que:
  1. 0in W;
  2. W é fechado sob soma;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Testamos a condição 1, a presença do vetor zero 0=(0,0,0). Se 0in W, deveríamos ter
x = z + 1 Longrightarrow 0 = 0 + 1,
o que é falso. Portanto 0notin W e W não satisfaz nem a condição mínima para ser subespaço.

Resposta

W não é subespaço de R^3, pois não contém o vetor zero.

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