Sejam A in R^m x n, B in R^n x r e C=AB. Mostre que:
[Sugestão: aplique a parte (a) a C^T ]

Passo 1

O enunciado define Ain R^mtimes n, Bin R^ntimes r e C=AB. Queremos mostrar que o posto de C satisfaz
rank(C)<= rank(B)
Para isso vamos usar:
  • Parte (a): para qualquer matriz M, rank(M)=rank(M^T).
  • A desigualdade já demonstrada rank(XY)<= rank(X) para matrizes compatíveis.

Passo 2

Aplique a parte (a) a C para escrever
rank(C)=rank(C^T)
Como
C^T=(AB)^T=B^T,A^T,
temos
rank(C)=rank(B^T A^T)
Agora use rank(XY)<= rank(X) com X=B^T e Y=A^T:
rank(B^T A^T)<= rank(B^T)
Finalmente, aplicando de novo a parte (a) a B obtemos rank(B^T)=rank(B). Com isso
rank(C)<= rank(B)

Resposta

rank(AB);<=;rank(B)

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