Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em
: Se
é a identidade, o que podemos afirmar sobre as bases
e
?
Em
Passo 1
O enunciado diz que estamos em
e que
e
são bases (ordenadas) desse espaço. Foi dada a informação de que
é a matriz identidade. A pergunta é: o que podemos afirmar sobre as bases
e
?
Passo 2
Primeiro vamos fixar o que significa
. Seja
a aplicação identidade (
para todo
). A notação
significa a matriz da transformação linear
quando as coordenadas de entrada estão na base
(domínio) e as coordenadas de saída são expostas na base
(contradomínio). Ou seja, para qualquer vetor
vale a relação
onde
e
são os vetores coluna de coordenadas de
nas bases
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora uma propriedade fundamental: as colunas de
são exatamente as coordenadas dos vetores da base
expressos na base
. Se escrevemos
então a
-ésima coluna de
é
, ou seja, os coeficientes que expressam
como combinação linear dos
:
Passo 4
Como
é a matriz identidade, suas colunas são os vetores coluna canônicos
. Logo, para cada
vale
Isto significa que, ao expressar
na base
, o coeficiente do
é
e todos os outros coeficientes são
. Portanto
Como isso vale para
, concluímos que
,
e
.
Passo 5
Portanto as duas bases coincidem termo a termo na mesma ordem:
e
são exatamente a mesma base ordenada. (Recíprocamente, se
então obviamente
é a identidade, pois cada
.)