Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em \mathbb{R}^{3} : Se [I]_{D}^{B} é a identidade, o que podemos afirmar sobre as bases B e D ?

Passo 1

O enunciado diz que estamos em \mathbb{R}^{3} e que B e D são bases (ordenadas) desse espaço. Foi dada a informação de que [I]_{D}^{B} é a matriz identidade. A pergunta é: o que podemos afirmar sobre as bases B e D?

Passo 2

Primeiro vamos fixar o que significa [I]_{D}^{B}. Seja \mathrm{id}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} a aplicação identidade ( \mathrm{id}(v)=v para todo v). A notação [I]_{D}^{B} significa a matriz da transformação linear \mathrm{id} quando as coordenadas de entrada estão na base B (domínio) e as coordenadas de saída são expostas na base D (contradomínio). Ou seja, para qualquer vetor v vale a relação
[v]_{D} = [I]_{D}^{B}\,[v]_{B},
onde [v]_{B} e [v]_{D} são os vetores coluna de coordenadas de v nas bases B e D, respectivamente.

Passo 3

Agora uma propriedade fundamental: as colunas de [I]_{D}^{B} são exatamente as coordenadas dos vetores da base B expressos na base D. Se escrevemos
B=(b_{1},b_{2},b_{3}),\qquad D=(d_{1},d_{2},d_{3}),
então a j-ésima coluna de [I]_{D}^{B} é [b_{j}]_{D}, ou seja, os coeficientes que expressam b_{j} como combinação linear dos d_{i}:
b_{j} = \sum_{i=1}^{3} \big([b_{j}]_{D}\big)_{i}\,d_{i}.

Passo 4

Como [I]_{D}^{B} é a matriz identidade, suas colunas são os vetores coluna canônicos \mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}. Logo, para cada j vale
[b_{j}]_{D}=\mathbf{e}_{j}.
Isto significa que, ao expressar b_{j} na base D, o coeficiente do d_{j} é 1 e todos os outros coeficientes são 0. Portanto
b_{j}=1\cdot d_{j} + 0\cdot d_{i\neq j}=d_{j}.
Como isso vale para j=1,2,3, concluímos que b_{1}=d_{1}, b_{2}=d_{2} e b_{3}=d_{3}.

Passo 5

Portanto as duas bases coincidem termo a termo na mesma ordem: B e D são exatamente a mesma base ordenada. (Recíprocamente, se B=D então obviamente [I]_{D}^{B} é a identidade, pois cada [b_{j}]_{D}=\mathbf{e}_{j}.)

Resposta

B = D (as bases ordenadas coincidem)

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