Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
Em M_{2 \times 2}: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Encontrar uma base para o subespaço V gerado pelos vetores (matrizes) fornecidos.
(b) Determinar a dimensão de V.
(c) Completar a base encontrada para obter uma base do espaço total M_{2\times2}.
As informações dadas (os três vetores/matrizes são estes):
O que significa “base” e como vamos testar independência:
Um conjunto de matrizes forma uma base de V se (i) gera V (ou seja, qualquer elemento de V é combinação linear dessas matrizes) e (ii) é linearmente independente (a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial).
Para testar dependência linear entre A,B,C vamos considerar uma combinação linear
e igualar as entradas correspondentes. Se houver relação não trivial entre A,B,C então eles não são independentes.]
Passo 3
Escrevendo a combinação e igualando entradas do lado superior (as entradas inferiores são todas zero em A,B,C\)):
A combinação \(xA+yB+zC\) dá, entrada por entrada,
\[\text{entrada }(1,1):\; x + 0 + z = 0,
Deste sistema vem z=-x\] e \(z=-y, logo x=y. Isso significa que existe uma relação linear não trivial: tomando t=x=y e z=-t obtemos tA+tB-tC=0, isto é,
A+B-C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=A+B.
Portanto C é combinação linear de A e B, ou seja, C é dependente dos outros dois.]
Passo 4
Concluir que V=\operatorname{span}\{A,B\}:
Como C=A+B, o conjunto \{A,B\} gera V (qualquer combinação de A,B,C pode ser escrita só com A e B). Assim V=\operatorname{span}\{A,B\}.
Agora verificar que A e B são linearmente independentes. Considere \alpha A+\beta B=0. Igualando entradas:
Logo a única solução é \alpha=\beta=0, logo \{A,B\} é linearmente independente. Portanto \{A,B\} é uma base de V.
Passo 5
Determinar a dimensão de V:
Uma base de V tem 2 vetores (matrizes), logo
\dim(V)=2.
Passo 6
Como completar a base \{A,B\} para uma base de M_{2\times2}:
O espaço M_{2\times2} tem dimensão 4, então precisamos de mais 2 matrizes que, junto com A e B, sejam linearmente independentes e gerem todo M_{2\times2}.
Uma escolha natural são as matrizes que têm 1 nas entradas da segunda linha, já que A e B têm só entradas possivelmente não nulas na primeira linha. Tomemos
Mostrar que \{A,B,E_{21},E_{22}\} é linearmente independente: considere
\alpha A+\beta B+\gamma E_{21}+\delta E_{22}=0.
Igualando entradas, da primeira linha obtemos \alpha=0 e \beta=0 (mesmo argumento do Passo 4). Da segunda linha obtemos \gamma=0 e \delta=0. Assim todos os coeficientes são zero, provando independência.
Como são quatro matrizes independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M_{2\times2}. Portanto completar a base de V com E_{21} e E_{22} resolve (há outras escolhas possíveis, mas esta é a mais direta).]
Passo 7
Resumo final e palavra amiga:
Achamos que C era redundante porque C=A+B. Assim a base de V pode ser tomada como \{A,B\}. A dimensão é 2. Para completar até uma base de todo M_{2\times2} usamos E_{21} e E_{22} e obtemos a base \{A,B,E_{21},E_{22}\}.
Fica a dica: quando as matrizes diferem apenas em linhas ou colunas separadas, muitas vezes é possível enxergar combinações lineares olhando entrada a entrada — uma técnica rápida na prova. Você está indo bem; continue assim, passo a passo!