Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
Em M_{2 \times 2}: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Encontrar uma base para o subespaço V gerado pelos vetores (matrizes) fornecidos.
  • (b) Determinar a dimensão de V.
  • (c) Completar a base encontrada para obter uma base do espaço total M_{2\times2}.
As informações dadas (os três vetores/matrizes são estes):
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “base” e como vamos testar independência:
  • Um conjunto de matrizes forma uma base de V se (i) gera V (ou seja, qualquer elemento de V é combinação linear dessas matrizes) e (ii) é linearmente independente (a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial).
  • Para testar dependência linear entre A,B,C vamos considerar uma combinação linear
xA+yB+zC=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
e igualar as entradas correspondentes. Se houver relação não trivial entre A,B,C então eles não são independentes.]

Passo 3

Escrevendo a combinação e igualando entradas do lado superior (as entradas inferiores são todas zero em A,B,C\)): A combinação \(xA+yB+zC\) dá, entrada por entrada, \[\text{entrada }(1,1):\; x + 0 + z = 0,
\text{entrada }(1,2):\; 0 + y + z = 0,
\text{entrada }(2,1):\; 0+0+0=0,\qquad \text{entrada }(2,2):\; 0+0+0=0.
Assim obtemos o sistema
\begin{cases} x+z=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Deste sistema vem z=-x\] e \(z=-y, logo x=y. Isso significa que existe uma relação linear não trivial: tomando t=x=y e z=-t obtemos tA+tB-tC=0, isto é,
A+B-C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=A+B.
Portanto C é combinação linear de A e B, ou seja, C é dependente dos outros dois.]

Passo 4

Concluir que V=\operatorname{span}\{A,B\}:
  • Como C=A+B, o conjunto \{A,B\} gera V (qualquer combinação de A,B,C pode ser escrita só com A e B). Assim V=\operatorname{span}\{A,B\}.
  • Agora verificar que A e B são linearmente independentes. Considere \alpha A+\beta B=0. Igualando entradas:
\alpha\cdot(1)+\beta\cdot(0)=0\\ \Rightarrow\\ \alpha=0,
\alpha\cdot(0)+\beta\cdot(1)=0\\ \Rightarrow\\ \beta=0.
Logo a única solução é \alpha=\beta=0, logo \{A,B\} é linearmente independente. Portanto \{A,B\} é uma base de V.

Passo 5

Determinar a dimensão de V:
  • Uma base de V tem 2 vetores (matrizes), logo
\dim(V)=2.

Passo 6

Como completar a base \{A,B\} para uma base de M_{2\times2}:
  • O espaço M_{2\times2} tem dimensão 4, então precisamos de mais 2 matrizes que, junto com A e B, sejam linearmente independentes e gerem todo M_{2\times2}.
  • Uma escolha natural são as matrizes que têm 1 nas entradas da segunda linha, já que A e B têm só entradas possivelmente não nulas na primeira linha. Tomemos
E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Mostrar que \{A,B,E_{21},E_{22}\} é linearmente independente: considere
\alpha A+\beta B+\gamma E_{21}+\delta E_{22}=0.
Igualando entradas, da primeira linha obtemos \alpha=0 e \beta=0 (mesmo argumento do Passo 4). Da segunda linha obtemos \gamma=0 e \delta=0. Assim todos os coeficientes são zero, provando independência.
  • Como são quatro matrizes independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M_{2\times2}. Portanto completar a base de V com E_{21} e E_{22} resolve (há outras escolhas possíveis, mas esta é a mais direta).]

Passo 7

Resumo final e palavra amiga:
  • Achamos que C era redundante porque C=A+B. Assim a base de V pode ser tomada como \{A,B\}. A dimensão é 2. Para completar até uma base de todo M_{2\times2} usamos E_{21} e E_{22} e obtemos a base \{A,B,E_{21},E_{22}\}.
  • Fica a dica: quando as matrizes diferem apenas em linhas ou colunas separadas, muitas vezes é possível enxergar combinações lineares olhando entrada a entrada — uma técnica rápida na prova. Você está indo bem; continue assim, passo a passo!

Resposta

(a) \left\{\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\right\}
(b) \dim(V)=2
(c) \left\{\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}]

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