Seja W o subespaço do \mathbb{R}^{2} gerado pelo vetor (3,4). Usando o produto interno canônico, seja E a projeção ortogonal de \mathbb{R}^{2} sobre W. Encontre
  1. uma formula para E(x_{1}, x_{2});
  2. a matriz de E na base canônica;
  3. W^{\perp};
  4. uma base ortonormal em que E é representada pela matriz
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
  • Dado: o subespaço W de \mathbb{R}^{2} é o gerado pelo vetor (3,4).
  • Dado: usamos o produto interno canônico em \mathbb{R}^{2}.
  • Dado: E é a projeção ortogonal de \mathbb{R}^{2} sobre W.
Perguntas a responder:
  1. Encontrar uma fórmula para E(x_{1},x_{2}).
  2. Determinar a matriz de E na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
  3. Encontrar W^{\perp}.
  4. Dar uma base ortonormal (duas vetores unitários ortogonais) tal que, nessa base, E tenha a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceito útil (aula rápida e prática): projeção ortogonal sobre uma reta (subespaço gerado por um vetor).
Se v\in\mathbb{R}^{2} é um vetor não nulo e u\in\mathbb{R}^{2} é qualquer vetor, a projeção ortogonal de u sobre a reta gerada por v é o múltiplo de v dado por
\mathrm{proj}_{v}(u)=\alpha v
onde \alpha é escolhido de modo que u-\alpha v seja ortogonal a v. Usando o produto interno canônico, a condição de ortogonalidade é
(u-\alpha v)\cdot v=0.
Explicando os símbolos: \cdot é o produto interno canônico em \mathbb{R}^{2}; se a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) então a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2. Então
u\cdot v-\alpha(v\cdot v)=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}.
Portanto a fórmula geral é
\mathrm{proj}_{v}(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Isso serve exatamente para projetar sobre W=\operatorname{span}\{v\}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso concreto: v=(3,4) e u=(x_{1},x_{2}). Primeiro calculemos v\cdot v e u\cdot v.
  • v\cdot v = 3^{2}+4^{2}=9+16=25.
  • u\cdot v = 3x_{1}+4x_{2}.
Usando \mathrm{proj}_{v}(u)=\dfrac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v, obtemos
E(x_{1},x_{2})=\mathrm{proj}_{(3,4)}(x_{1},x_{2}) =\frac{3x_{1}+4x_{2}}{25}\,(3,4).
Multiplicando o escalar pelo vetor, as componentes ficam
E(x_{1},x_{2})=\left(\frac{9x_{1}+12x_{2}}{25},\;\frac{12x_{1}+16x_{2}}{25}\right).
Aqui cada passo foi: calcular o produto interno, dividir por \,v\cdot v, e multiplicar pelo vetor v.

Passo 4

Matriz de E na base canônica. A matriz A de E deve satisfazer A\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=E(x_{1},x_{2}). Das componentes do passo anterior vemos que
A=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}9 & 12\\[4pt]12 & 16\end{pmatrix}.
Verificação por colunas (método prático na prova): aplique E aos vetores da base canônica \,e_{1}=(1,0) e \,e_{2}=(0,1).
  • E(e_{1})=E(1,0)=\bigl(9/25,\;12/25\bigr) — esta é a primeira coluna de A.
  • E(e_{2})=E(0,1)=\bigl(12/25,\;16/25\bigr) — esta é a segunda coluna de A.
    Isto coincide com a matriz dada acima.]

Passo 5

Encontrar W^{\perp}. Por definição,
W^{\perp}=\{\,z\in\mathbb{R}^{2} \mid z\cdot w=0\\ \text{para todo }w\in W\,\}.
Como W=\operatorname{span}\{(3,4)\}, basta impor que um vetor (x,y) satisfaça (x,y)\cdot(3,4)=0, isto é
3x+4y=0.
Uma maneira prática de parametrizar é escolher um gerador. Tomando x=-4 3(-4)+4y=0\Rightarrow y=3. Assim um vetor ortogonal a (3,4) é (-4,3). Portanto
W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-4,3)\}.
(Confirme rápido: (3,4)\cdot(-4,3)=-12+12=0.)

Passo 6

Construir uma base ortonormal em que E tem a matriz \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}. Ideia: escolher como primeiro vetor unitário u_{1} a direção de W, e como segundo vetor unitário u_{2} a direção de W^{\perp}. Como (3,4) tem norma \sqrt{25}=5, o vetor unitário em W é
u_{1}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Como (-4,3) tem norma \sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5, o vetor unitário em W^{\perp} é
u_{2}=\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).
Esses dois vetores são ortogonais e unitários, logo formam uma base ortonormal. Verificações rápidas:
  • u_{1}\cdot u_{1}=1, u_{2}\cdot u_{2}=1.
  • u_{1}\cdot u_{2}=\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=0.
Agora veja a ação de E sobre esses vetores:
  • E(u_{1})= projeção de u_{1} em W. Mas u_{1} já está em W e é unitário, logo E(u_{1})=u_{1}. Na coordenada relativa à base \{u_{1},u_{2}\}, isso corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • E(u_{2})= projeção de u_{2} em W. Mas u_{2}\in W^{\perp}, então sua projeção em W é 0. Na base \{u_{1},u_{2}\} isso corresponde a \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto, na base ortonormal \{u_{1},u_{2}\}=\left\{\bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr),\;\bigl(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr)\right\} a matriz de E é exatamente
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

  1. E(x_{1},x_{2})=\dfrac{3x_{1}+4x_{2}}{25}\,(3,4)=\left(\dfrac{9x_{1}+12x_{2}}{25},\dfrac{12x_{1}+16x_{2}}{25}\right).
  2. \displaystyle A=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}9 & 12\\[4pt]12 & 16\end{pmatrix}.
  3. W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-4,3)\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 3x+4y=0\}.
  4. Uma base ortonormal adequada é \displaystyle \left\{\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right),\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)\right\}.]

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