Seja W o subespaço do \mathbb{R}^{2} gerado pelo vetor (3,4). Usando o produto interno canônico, seja E a projeção ortogonal de \mathbb{R}^{2} sobre W. Encontre
uma formula para E(x_{1}, x_{2});
a matriz de E na base canônica;
W^{\perp};
uma base ortonormal em que E é representada pela matriz
Conceito útil (aula rápida e prática): projeção ortogonal sobre uma reta (subespaço gerado por um vetor).
Se v\in\mathbb{R}^{2} é um vetor não nulo e u\in\mathbb{R}^{2} é qualquer vetor, a projeção ortogonal de u sobre a reta gerada por v é o múltiplo de v dado por
\mathrm{proj}_{v}(u)=\alpha v
onde \alpha é escolhido de modo que u-\alpha v seja ortogonal a v. Usando o produto interno canônico, a condição de ortogonalidade é
(u-\alpha v)\cdot v=0.
Explicando os símbolos: \cdot é o produto interno canônico em \mathbb{R}^{2}; se a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) então a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2. Então
Aqui cada passo foi: calcular o produto interno, dividir por \,v\cdot v, e multiplicar pelo vetor v.
Passo 4
Matriz de E na base canônica. A matriz A de E deve satisfazer A\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=E(x_{1},x_{2}). Das componentes do passo anterior vemos que
Verificação por colunas (método prático na prova): aplique E aos vetores da base canônica \,e_{1}=(1,0) e \,e_{2}=(0,1).
E(e_{1})=E(1,0)=\bigl(9/25,\;12/25\bigr) — esta é a primeira coluna de A.
E(e_{2})=E(0,1)=\bigl(12/25,\;16/25\bigr) — esta é a segunda coluna de A.
Isto coincide com a matriz dada acima.]
Passo 5
Encontrar W^{\perp}. Por definição,
W^{\perp}=\{\,z\in\mathbb{R}^{2} \mid z\cdot w=0\\ \text{para todo }w\in W\,\}.
Como W=\operatorname{span}\{(3,4)\}, basta impor que um vetor (x,y) satisfaça (x,y)\cdot(3,4)=0, isto é
3x+4y=0.
Uma maneira prática de parametrizar é escolher um gerador. Tomando x=-4 dá 3(-4)+4y=0\Rightarrow y=3. Assim um vetor ortogonal a (3,4) é (-4,3). Portanto
W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-4,3)\}.
(Confirme rápido: (3,4)\cdot(-4,3)=-12+12=0.)
Passo 6
Construir uma base ortonormal em que E tem a matriz \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}. Ideia: escolher como primeiro vetor unitário u_{1} a direção de W, e como segundo vetor unitário u_{2} a direção de W^{\perp}. Como (3,4) tem norma \sqrt{25}=5, o vetor unitário em W é
u_{1}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Como (-4,3) tem norma \sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5, o vetor unitário em W^{\perp} é
u_{2}=\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).
Esses dois vetores são ortogonais e unitários, logo formam uma base ortonormal. Verificações rápidas:
E(u_{1})= projeção de u_{1} em W. Mas u_{1} já está em W e é unitário, logo E(u_{1})=u_{1}. Na coordenada relativa à base \{u_{1},u_{2}\}, isso corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
E(u_{2})= projeção de u_{2} em W. Mas u_{2}\in W^{\perp}, então sua projeção em W é 0. Na base \{u_{1},u_{2}\} isso corresponde a \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto, na base ortonormal \{u_{1},u_{2}\}=\left\{\bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr),\;\bigl(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr)\right\} a matriz de E é exatamente