Seja v=vx l+vy jmath o vetor que representa um raio de luz que incide sobre um espelho plano.
Considere que após a reflexão o raio de luz incide em outro espelho plano perpendicular ao anterior. Qual o vetor v após a segunda reflexão?

Passo 1

O enunciado diz que temos um vetor
v = vx,l + vy,jmath
que representa a direção de um raio de luz. Esse raio bate num espelho plano e, em seguida, num segundo espelho plano que é perpendicular ao primeiro. A pergunta é: qual é o vetor final depois dessas duas reflexões?
Conteúdo que vamos usar: reflexão de vetores em planos (geometria analítica e produtos escalares). Para resolver, precisamos da fórmula de reflexão de um vetor numa reta (ou plano em 2D):
v' = v - 2(v!cdot!n),n,
onde é o versor (vetor unitário) normal ao espelho.

Passo 2

Teoria da reflexão em plano:
  • Se um vetor v' = v - 2(vcdotn),n incide num espelho cujo vetor normal ao espelho é , o vetor refletido é dado por
  • Aqui, é o produto escalar.

Passo 3

Primeira reflexão
  1. Escolhemos a normal do primeiro espelho. Como o segundo é “perpendicular” ao primeiro, vale a pena assumir que o primeiro tem normal ao longo do eixo n1 = l = (1,0) . Logo vcdotn1 = vxcdot1 + vycdot0 = vx
  2. Calculamos o produto escalar: v1 = v - 2(vcdotn1),n1 = (vx,,vy) - 2,vx,(1,0) = (vx - 2vx,;vy) = (-vx,;vy)
  3. Aplicamos a fórmula:

Passo 4

Segunda reflexão
  1. Agora o segundo espelho é perpendicular ao primeiro, logo tem normal no eixo n2 = jmath = (0,1) : v1cdotn2 = (-vx)cdot0 + vycdot1 = vy
  2. Produto escalar com o vetor já refletido v2 = v1 - 2(v1cdotn2),n2 = (-vx,,vy) - 2,vy,(0,1) = (-vx,;vy - 2vy) = (-vx,;-vy) :
  3. Aplicamos de novo a fórmula:

Resposta

O vetor depois da segunda reflexão é
boxedvfinal = -,vx,l;-;vy,jmath

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