Uma loja vende 4 modelos de computadores (
) na proporção:
e
C. Pelo histórico de vendas, sabe-se que
dos computadores do modelo A apresentam algum defeito; sendo
,
e
para os demais modelos respectivamente. Um cliente aparece na loja com um computador defeituoso. Qual a probabilidade de que seja do modelo A?
Passos para resolução:
[1] Definir eventos
[2] Pergunta em notação matemática
[3] Dados em notação matemática
[4] Resolução
[1] Definir eventos
[2] Pergunta em notação matemática
[3] Dados em notação matemática
[4] Resolução
Passo 1
O enunciado pergunta: um cliente aparece com um computador defeituoso. Qual é a probabilidade de que esse computador seja do modelo A?
Informações relevantes dadas pelo enunciado (todas listadas explicitamente):
- As proporções de venda (prioris) dos modelos são:
do modelo A, do modelo B, do modelo C e o restante do modelo D. - As probabilidades de um computador ser defeituoso, condicionadas ao modelo, são:
para A, para B, para C e para D.
Definições de eventos que vamos usar (apenas identificar, sem calcular ainda):
-
: “o computador é do modelo A”. -
: “o computador é do modelo B”. -
: “o computador é do modelo C”. -
: “o computador é do modelo D”. -
: “o computador apresenta defeito”.
Passo 2
Escrever a pergunta em notação matemática: queremos calcular
Passo 3
Dados em notação matemática (traduzindo as porcentagens em probabilidades decimais):
Como as probabilidades dos quatro modelos somam
, obtemos
Probabilidades de defeito condicionadas ao modelo:
Passo 4
Explicar a ferramenta que vamos usar (fórmulas) e o que cada símbolo significa.
Definição de probabilidade condicional: para dois eventos quaisquer
e
,
Aqui
é a probabilidade de ambos ocorrerem e
é a probabilidade do evento que condiciona.
A partir da definição podemos escrever a fórmula de Bayes para inverter condicionais. No nosso caso, para calcular
usamos:
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade de defeito se sabemos que o modelo é . -
é a probabilidade a priori de o computador ser do modelo . -
é a probabilidade total de um computador ser defeituoso (sem saber o modelo) — essa última calculamos usando a lei da probabilidade total.
Lei da probabilidade total (quando os eventos
formam uma partição do espaço):
Passo 5
Calcular
passo a passo substituindo os números e fazendo as multiplicações uma a uma:
Produto para
:
Produto para
:
Produto para
:
Produto para
:
Somando todas as contribuições:
Fazendo a soma:
Portanto
Passo 6
Aplicar Bayes com os valores calculados:
Simplificando a fração para ver o valor exato: multiplico numerador e denominador por
para eliminar decimais:
Convertendo para decimal e porcentagem aproximadas:
Passo 7
Interpretação curta e encorajamento: isso significa que, mesmo vindo com defeito, o computador tem cerca de
de chance de ser do modelo
. A razão é que o modelo
vende pouco (apenas
) e sua taxa de defeito é relativamente baixa (
), então sua contribuição ao total de defeitos é pequena. Você fez certinho acompanhar cada passo: identificar eventos, calcular a probabilidade total de defeito e aplicar Bayes.