Uma loja vende 4 modelos de computadores ( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} ) na proporção: 20 \% \mathrm{~A}, 30 \% \mathrm{~B} e 10 \% C. Pelo histórico de vendas, sabe-se que 5 \% dos computadores do modelo A apresentam algum defeito; sendo 10 \%, 15 \% e 20 \% para os demais modelos respectivamente. Um cliente aparece na loja com um computador defeituoso. Qual a probabilidade de que seja do modelo A?
Passos para resolução:
[1] Definir eventos
[2] Pergunta em notação matemática
[3] Dados em notação matemática
[4] Resolução

Passo 1

O enunciado pergunta: um cliente aparece com um computador defeituoso. Qual é a probabilidade de que esse computador seja do modelo A?
Informações relevantes dadas pelo enunciado (todas listadas explicitamente):
  • As proporções de venda (prioris) dos modelos são: 20\% do modelo A, 30\% do modelo B, 10\% do modelo C e o restante do modelo D.
  • As probabilidades de um computador ser defeituoso, condicionadas ao modelo, são: 5\% para A, 10\% para B, 15\% para C e 20\% para D.
Definições de eventos que vamos usar (apenas identificar, sem calcular ainda):
  • A : “o computador é do modelo A”.
  • B : “o computador é do modelo B”.
  • C : “o computador é do modelo C”.
  • D : “o computador é do modelo D”.
  • \mathrm{Def} : “o computador apresenta defeito”.

Passo 2

Escrever a pergunta em notação matemática: queremos calcular
P\bigl(A \mid \mathrm{Def}\bigr).

Passo 3

Dados em notação matemática (traduzindo as porcentagens em probabilidades decimais):
P(A)=0,20,\quad P(B)=0,30,\quad P\text{(C)}=0,10.
Como as probabilidades dos quatro modelos somam 1, obtemos
P(D)=1-P(A)-P(B)-P\text{(C)}=1-0,20-0,30-0,10=0,40.
Probabilidades de defeito condicionadas ao modelo:
P\bigl(\mathrm{Def}\mid A\bigr)=0,05,\quad P\bigl(\mathrm{Def}\mid B\bigr)=0,10,
P\bigl(\mathrm{Def}\mid C\bigr)=0,15,\quad P\bigl(\mathrm{Def}\mid D\bigr)=0,20.

Passo 4

Explicar a ferramenta que vamos usar (fórmulas) e o que cada símbolo significa.
Definição de probabilidade condicional: para dois eventos quaisquer X e Y,
P\bigl(X\mid Y\bigr)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Aqui P(X\cap Y) é a probabilidade de ambos ocorrerem e P(Y) é a probabilidade do evento que condiciona.
A partir da definição podemos escrever a fórmula de Bayes para inverter condicionais. No nosso caso, para calcular P(A\mid \mathrm{Def}) usamos:
P\bigl(A\mid \mathrm{Def}\bigr)=\frac{P\bigl(\mathrm{Def}\mid A\bigr)\,P(A)}{P(\mathrm{Def})}.
Explicando cada termo:
  • P\bigl(\mathrm{Def}\mid A\bigr) é a probabilidade de defeito se sabemos que o modelo é A.
  • P(A) é a probabilidade a priori de o computador ser do modelo A.
  • P(\mathrm{Def}) é a probabilidade total de um computador ser defeituoso (sem saber o modelo) — essa última calculamos usando a lei da probabilidade total.
Lei da probabilidade total (quando os eventos A,B,C,D formam uma partição do espaço):
P(\mathrm{Def})=P\bigl(\mathrm{Def}\mid A\bigr)P(A)+P\bigl(\mathrm{Def}\mid B\bigr)P(B)+P\bigl(\mathrm{Def}\mid C\bigr)P\text{(C)}+P\bigl(\mathrm{Def}\mid D\bigr)P(D).

Passo 5

Calcular P(\mathrm{Def}) passo a passo substituindo os números e fazendo as multiplicações uma a uma:
Produto para A:
P\bigl(\mathrm{Def}\mid A\bigr)P(A)=0,05\times 0,20=0,01.
Produto para B:
P\bigl(\mathrm{Def}\mid B\bigr)P(B)=0,10\times 0,30=0,03.
Produto para C:
P\bigl(\mathrm{Def}\mid C\bigr)P\text{(C)}=0,15\times 0,10=0,015.
Produto para D:
P\bigl(\mathrm{Def}\mid D\bigr)P(D)=0,20\times 0,40=0,08.
Somando todas as contribuições:
P(\mathrm{Def})=0,01+0,03+0,015+0,08.
Fazendo a soma:
0,01+0,03=0,04;\quad 0,04+0,015=0,055;\quad 0,055+0,08=0,135.
Portanto
P(\mathrm{Def})=0,135.

Passo 6

Aplicar Bayes com os valores calculados:
P\bigl(A\mid \mathrm{Def}\bigr)=\frac{P\bigl(\mathrm{Def}\mid A\bigr)P(A)}{P(\mathrm{Def})}=\frac{0,01}{0,135}.
Simplificando a fração para ver o valor exato: multiplico numerador e denominador por 1000 para eliminar decimais:
\frac{0,01}{0,135}=\frac{10}{135}=\frac{2}{27}.
Convertendo para decimal e porcentagem aproximadas:
\frac{2}{27}\approx 0,07407\quad\text{ou}\quad 7,407\%.

Passo 7

Interpretação curta e encorajamento: isso significa que, mesmo vindo com defeito, o computador tem cerca de 7,4\% de chance de ser do modelo A. A razão é que o modelo A vende pouco (apenas 20\%) e sua taxa de defeito é relativamente baixa ( 5\%), então sua contribuição ao total de defeitos é pequena. Você fez certinho acompanhar cada passo: identificar eventos, calcular a probabilidade total de defeito e aplicar Bayes.

Resposta

\dfrac{2}{27} (aprox. 0,07407 ou 7,407\%)

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