Suponha que a tensão medida em um certo circuito elétrico tenha distribuição normal com média 120 e desvio padrão 2. Se três medidas independentes da tensão forem realizadas, qual é a probabilidade de que todas as três medidas estejam entre 116 e 118?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que, em três medidas independentes da tensão, todas as três caiam no intervalo 116 até 118.
Informações dadas:
X \sim N(120,\,2^2)
isto é, cada medida X tem média \mu=120 e desvio padrão \sigma=2. As três medidas são independentes.

Passo 2

Vamos primeiro achar a probabilidade para uma medida só: P(116 \le X \le 118).
Explicação do conceito que vamos usar: para uma variável normal X com média \mu e desvio padrão \sigma, padronizamos para a variável normal padrão Z por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição N(0,1). Padronizar transforma um intervalo em termos de X para um intervalo em termos de Z, e daí usamos a tabela da normal padrão (função de distribuição \Phi).
Aplicando ao nosso caso:
P(116 \le X \le 118)=P\!\left(\frac{116-120}{2} \le Z \le \frac{118-120}{2}\right).
Calculando os limites:
\frac{116-120}{2}=\frac{-4}{2}=-2,\qquad \frac{118-120}{2}=\frac{-2}{2}=-1.
Logo
P(116 \le X \le 118)=P(-2 \le Z \le -1).

Passo 3

Agora vamos transformar essa probabilidade usando a função de distribuição padrão \Phi. Por definição,
P(-2 \le Z \le -1)=\Phi(-1)-\Phi(-2).
Usamos a propriedade de simetria da normal: para a>0 vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Aplicando:
\Phi(-1)-\Phi(-2)=(1-\Phi(1))-(1-\Phi(2))=\Phi(2)-\Phi(1).
Isso é útil porque as tabelas normalmente dão \Phi(1) e \Phi(2).

Passo 4

Consultando a tabela padrão (ou lembrando valores comuns):
\Phi(1)\approx 0,8413,\qquad \Phi(2)\approx 0,9772.
Portanto a probabilidade para uma medida é
p:=P(116 \le X \le 118)=\Phi(2)-\Phi(1)\approx 0,9772-0,8413=0,1359.

Passo 5

Como as três medidas são independentes, a probabilidade de que todas três estejam no intervalo é o produto das probabilidades individuais:
P(\text{todas três em }[116,118])=p^3.ê
Calculando:
p^2=(0,1359)^2\approx 0,01846881,
p^3=(0,1359)^3\approx 0,002509911279\approx 0,00251.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 0,251\%.

Resposta

\approx 0,00251

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