Suponha que a tensão medida em um certo circuito elétrico tenha distribuição normal com média 120 e desvio padrão 2. Se três medidas independentes da tensão forem realizadas, qual é a probabilidade de que todas as três medidas estejam entre 116 e 118?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que, em três medidas independentes da tensão, todas as três caiam no intervalo
até
.
Informações dadas:
isto é, cada medida
tem média
e desvio padrão
. As três medidas são independentes.
Passo 2
Vamos primeiro achar a probabilidade para uma medida só:
.
Explicação do conceito que vamos usar: para uma variável normal
com média
e desvio padrão
, padronizamos para a variável normal padrão
por
que tem distribuição
. Padronizar transforma um intervalo em termos de
para um intervalo em termos de
, e daí usamos a tabela da normal padrão (função de distribuição
).
Aplicando ao nosso caso:
Calculando os limites:
Logo
Passo 3
Agora vamos transformar essa probabilidade usando a função de distribuição padrão
. Por definição,
Usamos a propriedade de simetria da normal: para
vale
. Aplicando:
Isso é útil porque as tabelas normalmente dão
e
.
Passo 4
Consultando a tabela padrão (ou lembrando valores comuns):
Portanto a probabilidade para uma medida é
Passo 5
Como as três medidas são independentes, a probabilidade de que todas três estejam no intervalo é o produto das probabilidades individuais:
Calculando:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.