Seja V=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\} com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por
x \oplus y=x y \quad \text { e } \quad \alpha \odot x=x^{\alpha},
para todos x, y \in V e \alpha \in \mathbb{R}. Verifique que V é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto V = \{x\in\mathbb{R}\mid x>0\} com as operações
x\oplus y = x\,y, \quad \alpha\odot x = x^{\alpha},
e pede para mostrar que isso faz de V um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Vamos usar as propriedades usuais de multiplicação e de potências.

Passo 2

Verificar que (V,\oplus) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: se x>0 e y>0, então x\oplus y = xy>0, logo x\oplus y\in V.
  • Associatividade:
(x\oplus y)\oplus z = (xy)\,z = x\,(y z) = x\oplus(y\oplus z).
  • Elemento neutro: 1\in V e 1\oplus x = 1\cdot x = x.
  • Inverso: para x>0, existe x^{-1}>0 tal que x\oplus x^{-1} = xx^{-1} = 1.
  • Comutatividade:
x\oplus y = x\,y = y\,x = y\oplus x.

Passo 3

Verificar a compatibilidade de escalares:
(\alpha\beta)\odot x = x^{\alpha\beta} = \bigl(x^{\beta}\bigr)^{\alpha} = \alpha\odot(\beta\odot x).

Passo 4

Verificar as duas propriedades de distributividade e a identidade escalar:
  1. Distributividade em relação a \oplus no segundo fator:
\alpha\odot(x\oplus y) = (xy)^{\alpha} = x^{\alpha}\,y^{\alpha} = (\alpha\odot x)\oplus(\alpha\odot y).
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(\alpha+\beta)\odot x = x^{\alpha+\beta} = x^{\alpha}\,x^{\beta} = (\alpha\odot x)\oplus(\beta\odot x).
  1. Elemento unitário do corpo:
1\odot x = x^1 = x.

Resposta

Como todas as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com as operações dadas.

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