Seja
com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por
para todos
e
. Verifique que
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
e pede para mostrar que isso faz de
um espaço vetorial sobre
. Vamos usar as propriedades usuais de multiplicação e de potências.
Passo 2
Verificar que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e , então , logo . - Associatividade:
- Elemento neutro:
e . - Inverso: para
, existe tal que . - Comutatividade:
Passo 3
Verificar a compatibilidade de escalares:
Passo 4
Verificar as duas propriedades de distributividade e a identidade escalar:
- Distributividade em relação a
no segundo fator:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Elemento unitário do corpo:
Resposta
Como todas as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
com as operações dadas.