(DESAFIO!) Neste exercício vamos verificar com alguns exemplos que a geometria analítica plana satisfaz os axiomas apresentados nesta aula. Primeiro estabelecemos quem são nossos personagens: o plano
é o plano cartesiano
, os pontos são os pares ordenados
, e as retas são as retas cartesianas, ou seja, os conjuntos do tipo
onde
ou
são não nulos.
(a) Axioma I.1: Tome dois pontos
e
de
e encontre a equação da reta determinada por eles. Existe outra reta cartesiana determinada pelos mesmos pontos?
(b) Axioma I.2: Tome uma reta cartesiana
qualquer e verifique que possui dois pontos.
(c) Axioma I.3: Tome uma reta cartesiana
qualquer e dê as coordenadas de algum ponto que não pertença a
.
(d) Axioma II.1: Mostre que se
e
então a distância definida por
satisfaz as propriedades do axioma II. 1
(e) Axioma II.2: Façamos um exemplo particular. Tome a reta
Verifique que
e
são pontos de
. Calcule
,
e
e verifique que
. Desenhe a reta e os pontos no plano. Este cálculo pode ser generalizado facilmente para retas quaisquer.
(f) Axioma II.3: Tome a reta
e os pontos
e
do item anterior e encontre um ponto
tal que
. Este cálculo também pode ser facilmente generalizado.
(a) Axioma I.1: Tome dois pontos
(b) Axioma I.2: Tome uma reta cartesiana
(c) Axioma I.3: Tome uma reta cartesiana
(d) Axioma II.1: Mostre que se
(e) Axioma II.2: Façamos um exemplo particular. Tome a reta
(f) Axioma II.3: Tome a reta
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em
com a distância euclidiana e as retas cartesianas, os axiomas I.1, I.2, I.3 e II.1, II.2, II.3. Vamos usar:
- Equação geral de reta em
; - Propriedades do determinante/ponto e coeficiente angular;
- Construção de pontos que satisfazem ou não
; - Distância euclidiana
; - Condição de “entre” baseada em soma de distâncias.
Passo 2
(a) Dados dois pontos distintos
e
, a reta que passa por eles tem equação na forma
Para ver que não existe outra reta cartesiana passando pelos mesmos dois pontos, note que qualquer outra equação
que seja satisfeita por
e
deve ter
proporcional a
. Logo a reta é única.
Passo 3
(b) Seja uma reta qualquer
com
.
- Se
, tome e . - Se
, tome e .
Em cada caso encontramos dois pontos distintos que satisfazem.
Passo 4
(c) Seja
. Para achar um ponto fora de
, basta escolher um par
que não satisfaça a equação. Por exemplo:
- Se
, escolha . Então
logo
.
- Se
, escolha , de modo análogo.
Passo 5
(d) Para
e
definimos
Verificamos:
- Positividade:
, logo . - Definitude:
se e somente se e , i.e.\ . - Simetria: trocando índices,
. - Desigualdade triangular: para
vale
(vem do fato de norma em
satisfazer a desigualdade triangular).
Passo 6
(e) Na reta
checamos:
logo
,
e
estão em
.
Calculamos as distâncias:
Calculamos as distâncias:
Observamos
logo
(isto é,
está entre
e
). Num esboço do plano, vemos
, depois
e depois
sobre a mesma reta.
Passo 7
(f) Para exibir um ponto
em
tal que
, usamos vetor diretor de
. Como o normal é
, um vetor diretor é
. A parametrização é
Em
vem
. Então
e
o que garante
.
Resposta
(a) A reta por
e
é
e tal reta é única.
(b) Em podemos escolher, por exemplo,
e
(se
) para obter dois pontos.
(c) Um ponto fora de é, por exemplo,
quando
.
(d) A distância euclidiana satisfaz não negatividade, identidade do indiscernível, simetria e desigualdade triangular.
(e) Em , os pontos
,
,
dão
(b) Em
(c) Um ponto fora de
(d) A distância euclidiana satisfaz não negatividade, identidade do indiscernível, simetria e desigualdade triangular.
(e) Em
e
, logo
.
(f) Um ponto com
é
, obtido com vetor diretor
.
(f) Um ponto