(DESAFIO!) Neste exercício vamos verificar com alguns exemplos que a geometria analítica plana satisfaz os axiomas apresentados nesta aula. Primeiro estabelecemos quem são nossos personagens: o plano \mathcal{P} é o plano cartesiano \mathbb{R}^{2}, os pontos são os pares ordenados (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, e as retas são as retas cartesianas, ou seja, os conjuntos do tipo
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \text { tais que } a x+b y=c\right\}
onde a ou b são não nulos.
(a) Axioma I.1: Tome dois pontos \left(x_{0}, y_{0}\right) e \left(x_{1}, y_{1}\right) de \mathbb{R}^{2} e encontre a equação da reta determinada por eles. Existe outra reta cartesiana determinada pelos mesmos pontos?
(b) Axioma I.2: Tome uma reta cartesiana a x+b y=c qualquer e verifique que possui dois pontos.
(c) Axioma I.3: Tome uma reta cartesiana r: a x+b y-c qualquer e dê as coordenadas de algum ponto que não pertença a r.
(d) Axioma II.1: Mostre que se A=\left(x_{1}, y_{1}\right) e B=\left(x_{2}, y_{2}\right) então a distância definida por
A B=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}
satisfaz as propriedades do axioma II. 1
(e) Axioma II.2: Façamos um exemplo particular. Tome a reta
r: 3 x+2 y=1 .
Verifique que A=(1,-1), B=(-1,2) e C=(2,-5 / 2) são pontos de r. Calcule A B, A C e B C e verifique que B-A-C. Desenhe a reta e os pontos no plano. Este cálculo pode ser generalizado facilmente para retas quaisquer.
(f) Axioma II.3: Tome a reta r e os pontos A e B do item anterior e encontre um ponto D tal que B-A-D. Este cálculo também pode ser facilmente generalizado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em \mathbb{R}^2 com a distância euclidiana e as retas cartesianas, os axiomas I.1, I.2, I.3 e II.1, II.2, II.3. Vamos usar:
  • Equação geral de reta em \mathbb{R}^2;
  • Propriedades do determinante/ponto e coeficiente angular;
  • Construção de pontos que satisfazem ou não ax+by=c;
  • Distância euclidiana \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};
  • Condição de “entre” baseada em soma de distâncias.

Passo 2

(a) Dados dois pontos distintos P_0=(x_0,y_0) e P_1=(x_1,y_1), a reta que passa por eles tem equação na forma
(y_1 - y_0)\,x - (x_1 - x_0)\,y + \bigl(x_1y_0 - y_1x_0\bigr)=0.
Para ver que não existe outra reta cartesiana passando pelos mesmos dois pontos, note que qualquer outra equação a'x+b'y=c' que seja satisfeita por P_0 e P_1 deve ter (a',b',c') proporcional a (y_1 - y_0,\,-(x_1 - x_0),\,x_1y_0 - y_1x_0). Logo a reta é única.

Passo 3

(b) Seja uma reta qualquer r: a x + b y = c com (a,b)\neq(0,0).
  • Se b\neq0, tome X=(0,\;c/b) e Y=(1,\;(c - a)/b).
  • Se a\neq0, tome X'=(c/a,\;0) e Y'=( (c - b)/a,\;1).
    Em cada caso encontramos dois pontos distintos que satisfazem ax+by=c.

Passo 4

(c) Seja r: a x + b y = c. Para achar um ponto fora de r, basta escolher um par (x,y) que não satisfaça a equação. Por exemplo:
  • Se a\neq0, escolha P=(c/a + 1,\;0). Então
a\bigl(c/a+1\bigr)+b\cdot0 = c + a \neq c,
logo P\notin r.
  • Se b\neq0, escolha Q=(0,\;c/b + 1), de modo análogo.

Passo 5

(d) Para A=(x_1,y_1) e B=(x_2,y_2) definimos
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
Verificamos:
  1. Positividade: (x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2\ge0, logo AB\ge0.
  2. Definitude: AB=0 se e somente se x_2=x_1 e y_2=y_1, i.e.\ A=B.
  3. Simetria: trocando índices, BA=AB.
  4. Desigualdade triangular: para C=(x_3,y_3) vale
AC+CB \ge AB
(vem do fato de norma em \mathbb{R}^2 satisfazer a desigualdade triangular).

Passo 6

(e) Na reta r:3x+2y=1 checamos:
3\cdot1 + 2\cdot(-1)=1,\quad 3\cdot(-1)+2\cdot2=1,\quad 3\cdot2+2\cdot\bigl(-\tfrac52\bigr)=1,
logo A=(1,-1), B=(-1,2) e C=(2,-\tfrac52) estão em r.
Calculamos as distâncias:
AB = \sqrt{(-1-1)^2+(2+1)^2} = \sqrt{4+9}=\sqrt{13},
AC = \sqrt{(2-1)^2+\bigl(-\tfrac52+1\bigr)^2} = \sqrt{1 + \tfrac{9}{4}} = \tfrac{\sqrt{13}}{2},
BC = \sqrt{(2+1)^2+\bigl(-\tfrac52-2\bigr)^2} = \sqrt{9 + \tfrac{81}{4}} = \tfrac{3\sqrt{13}}{2}.
Observamos
BA + AC = \sqrt{13} + \tfrac{\sqrt{13}}{2} = \tfrac{3\sqrt{13}}{2} = BC,
logo B\!-\!A\!-\!C (isto é, A está entre B e C). Num esboço do plano, vemos B, depois A e depois C sobre a mesma reta.

Passo 7

(f) Para exibir um ponto D em r tal que B\!-\!A\!-\!D, usamos vetor diretor de r. Como o normal é (3,2), um vetor diretor é (2,-3). A parametrização é
X(t) = A + t\,(2,-3),\quad A=(1,-1).
Em t=1 vem D=(1+2,\,-1-3)=(3,-4). Então
BA = \|A-B\| = 1\;\|\,(2,-3)\|\,,\qquad AD = \|D-A\| = 1\;\|\,(2,-3)\|\,,
e
BA + AD = 2\;\|(2,-3)\| = BD,
o que garante B\!-\!A\!-\!D.

Resposta

(a) A reta por (x_0,y_0) e (x_1,y_1) é
(y_1 - y_0)\,x - (x_1 - x_0)\,y + (x_1y_0 - y_1x_0)=0,
e tal reta é única.
(b) Em ax+by=c podemos escolher, por exemplo, X=(0,c/b) e Y=(1,(c-a)/b) (se b\neq0) para obter dois pontos.
(c) Um ponto fora de ax+by=c é, por exemplo, \bigl(c/a+1,0\bigr) quando a\neq0.
(d) A distância euclidiana satisfaz não negatividade, identidade do indiscernível, simetria e desigualdade triangular.
(e) Em r:3x+2y=1, os pontos A=(1,-1), B=(-1,2), C=(2,-5/2) dão
AB=\sqrt{13},\quad AC=\tfrac{\sqrt{13}}{2},\quad BC=\tfrac{3\sqrt{13}}{2},
e BA+AC=BC, logo B\!-\!A\!-\!C.
(f) Um ponto D com B\!-\!A\!-\!D é D=(3,-4), obtido com vetor diretor (2,-3).

Exercícios relacionados