Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
V=\mathcal{P}(\mathbb{R}) e S=\{p \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \mid p(0)=2 p(1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \displaystyle S=\{\,p\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\mid p(0)=2\,p(1)\}
é subespaço de V=\mathcal{P}(\mathbb{R}).
Conteúdo: para ser subespaço vetorial, S deve conter o polinômio zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o polinômio zero 0(x)=0 pertence a S.
Como 0(0)=0 e 0(1)=0, temos
0(0)=0=2\cdot0=2\,0(1),
logo 0\in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Tomemos p,q\in S, isto é p(0)=2\,p(1) e q(0)=2\,q(1). Então
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=2\,p(1)+2\,q(1) =2\bigl(p(1)+q(1)\bigr)=2\,(p+q)(1),
portanto p+q\in S.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar.
Sejam p\in S e \alpha\in\mathbb{R}. Então
(\alpha p)(0)=\alpha\,p(0)=\alpha\,(2\,p(1))=2\,(\alpha\,p(1))=2\,(\alpha p)(1),
logo \alpha p\in S.

Resposta

Sim, S é um subespaço vetorial de V.

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