Verifique se
é um espaço vetorial com as operações de adição
de multiplicação por escalar
dadas por:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
munido da adição
munido da adição
e da multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos conferir que
-
é um grupo abeliano; - as propriedades de escalarização (identidade, distributividades e compatibilidade) valem.
Passo 2
Verificação de que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e estão em , então também está em . - Associatividade:
. - Comutatividade:
. - Elemento neutro:
, pois
. - Inverso: para
o inverso é , pois
.
Logo
é grupo abeliano.
Passo 3
Verificação de algumas propriedades da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro do corpo:
então a propriedade
vale.
- Distributividade sobre adição de vetores:
enquanto
Portanto essa distributividade também vale.
Passo 4
Verificação da distributividade sobre adição de escalares (essa falha):
- Se a distribuição valesse, teríamos
- Por outro lado,
Para vetores distintos de
isso dá
.
Logo a propriedade
não se cumpre.
Logo a propriedade
não se cumpre.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
, pois falha a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares.