Verifique se V=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}\} é um espaço vetorial com as operações de adição \oplus \mathrm{e} de multiplicação por escalar \odot dadas por:
\left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) ; \alpha \odot(x, y)=(x, \alpha y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \displaystyle V=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}
munido da adição
(x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
e da multiplicação por escalar
\alpha\odot(x,y)=(x,\,\alpha y)
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso, precisamos conferir que
  1. (V,\oplus) é um grupo abeliano;
  2. as propriedades de escalarização (identidade, distributividades e compatibilidade) valem.

Passo 2

Verificação de que (V,\oplus) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: se (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) estão em V, então (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) também está em V.
  • Associatividade:
    \bigl((x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})\bigr)\oplus(x_{3},y_{3}) =(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}+y_{2}+y_{3}) =(x_{1},y_{1})\oplus\bigl((x_{2},y_{2})\oplus(x_{3},y_{3})\bigr).
  • Comutatividade:
    (x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2}) =(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) =(x_{2}+x_{1},\,y_{2}+y_{1}) =(x_{2},y_{2})\oplus(x_{1},y_{1}).
  • Elemento neutro: (0,0), pois
    (x,y)\oplus(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
  • Inverso: para (x,y) o inverso é (-x,-y), pois
    (x,y)\oplus(-x,-y)=(0,0).
Logo (V,\oplus) é grupo abeliano.

Passo 3

Verificação de algumas propriedades da multiplicação por escalar:
  • Elemento neutro do corpo:
1\odot(x,y)=(x,1\cdot y)=(x,y),
então a propriedade 1\odot v=v vale.
  • Distributividade sobre adição de vetores:
\alpha\odot\bigl((x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})\bigr) =\alpha\odot(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) =(x_{1}+x_{2},\,\alpha(y_{1}+y_{2})),
enquanto
\alpha\odot(x_{1},y_{1})\oplus\alpha\odot(x_{2},y_{2}) =(x_{1},\alpha y_{1})\oplus(x_{2},\alpha y_{2}) =(x_{1}+x_{2},\,\alpha y_{1}+\alpha y_{2}) =(x_{1}+x_{2},\,\alpha(y_{1}+y_{2})).
Portanto essa distributividade também vale.

Passo 4

Verificação da distributividade sobre adição de escalares (essa falha):
  • Se a distribuição valesse, teríamos
(\alpha+\beta)\odot(x,y) =(x,(\alpha+\beta)y).
  • Por outro lado,
\alpha\odot(x,y)\oplus\beta\odot(x,y) =(x,\alpha y)\oplus(x,\beta y) =(x+x,\alpha y+\beta y) =(2x,(\alpha+\beta)y).
Para vetores distintos de (0,y) isso dá
(x,(\alpha+\beta)y)\neq(2x,(\alpha+\beta)y).
Logo a propriedade
(\alpha+\beta)\odot v=\alpha\odot v\oplus\beta\odot v
não se cumpre.

Resposta

O conjunto V com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, pois falha a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares.

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