Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll (x-2) / 16 & se & 2 <= x <= 6 (k-x) / 16 & se & 6
Nessas condições, pede-se:
(b) P(5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) dada por:
X á
O que a gente precisa calcular é $ P(5 < X \leq 7) $, que é a probabilidade de $ X $ estar entre 5 e 7.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração da f.d.p em intervalos específicos. Como a função $ f(x) $ muda de expressão em $ x = 6 $, teremos que dividir nossa integração em duas partes: de 5 a 6 e de 6 a 7.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função $ f(x) $ que vamos usar:
  • De 5 a 6, usamos $ f(x) = \frac{x - 2}{16} $
  • De 6 a 7, usamos $ f(x) = \frac{k - x}{16} $

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente para encontrar a probabilidade total.
Parte 1: De 5 a 6
P(5 < X <= 6) = integral5^6 x - 216 , dx
Vamos calcular essa integral:
integral x - 216 , dx = 116 ( x^22 - 2x ) + C
Avaliar entre 5 e 6:
116 [ ( 6^22 - 2 times 6 ) - ( 5^22 - 2 times 5 ) ]
Calculando:
116 [ ( 18 - 12 ) - ( 12.5 - 10 ) ] = 116 (6 - 2.5) = 3.516 = 0.21875
Parte 2: De 6 a 7
P(6 < X <= 7) = integral6^7 k - x16 , dx
Vamos calcular essa integral:
integral k - x16 , dx = 116 ( kx - x^22 ) + C
Avaliar entre 6 e 7:
116 [ ( k times 7 - 7^22 ) - ( k times 6 - 6^22 ) ]
Simplificando:
116 [ 7k - 24.5 - (6k - 18) ] = 116 (k - 6.5) = k - 6.516

Passo 4

Agora, juntamos as duas partes para encontrar a probabilidade total:
P(5 < X <= 7) = P(5 < X <= 6) + P(6 < X <= 7) = 0.21875 + k - 6.516

Passo 5

Para finalizar, precisamos saber o valor de $ k $. Como a função $ f(x) $ deve integrar para 1 em todo o domínio, vamos encontrar $ k $.
k
Calculando a primeira integral:
f(x)
Calculando a segunda integral:
k
Somando as duas integrais:
integral2^6 x - 216 , dx + integral6^10 k - x16 , dx = 1

Passo 6

Agora que sabemos que $ k = 10 $, voltamos à nossa probabilidade:
k = 10

Resposta

A probabilidade $ P(5 < X \leq 7) $ é 0,4375.

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