Sendo
, mostre que a função
dada a seguir é de fato uma legítima função densidade de probabilidade
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função $ f(x) = \beta^{2} x e^{-\beta x} $ para $ x \geq 0 $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário, onde $ \beta > 0 $. O objetivo é mostrar que essa função é uma função densidade de probabilidade válida. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- Integral igual a 1: A integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Verificando a não-negatividade:
Olha só, a função $ f(x) = \beta^{2} x e^{-\beta x} $ tem três componentes:
- $ \beta^{2} $: Como $ \beta > 0 $, $ \beta^{2} $ também é positivo.
- $ x $: Estamos considerando $ x \geq 0 $.
- $ e^{-\beta x} $: A função exponencial é sempre positiva.
Multiplicando todos esses fatores positivos, temos que $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x \geq 0 $. Fora disso, $ f(x) = 0 $, que também é não-negativo. Então, a primeira condição está satisfeita!
Passo 3
Calculando a integral de $ f(x) $ de 0 a $ \infty $:
Precisamos mostrar que:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar:
Deixe $ u = \beta x $, então $ du = \beta dx $ ou $ dx = \frac{du}{\beta} $.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Agora, sabemos que:
Onde $ \Gamma(n) $ é a função gama, que para inteiros positivos é igual a $ (n-1)! $. Assim:
Portanto:
Resposta
A função $ f(x) $ é uma legítima função densidade de probabilidade.