Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida por duas expressões diferentes dependendo de $ x $. O que precisamos descobrir aqui são a esperança $ E(X) $ e a variância $ Var(X) $ dessa variável. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a função densidade esteja correta (ou seja, que a área total sob a curva seja 1) e então aplicar as fórmulas para calcular $ E(X) $ e $ Var(X) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função densidade $ f(x) $ que nos foi dada:
f(x) á
Antes de calcular $ E(X) $ e $ Var(X) $, precisamos encontrar o valor de $ k $ que faz com que $ f(x) $ seja uma função densidade válida, ou seja, que a integral de $ f(x) $ de f(x) = x3, & 0 <= x <= 2 (k - x)^28, & 2 < x <= 4 0, & caso contrário a $ \infty $ seja igual a 1.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 4 (já que fora desse intervalo $ f(x) = 0 $):