Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll x / 3 & se & 0 <= x <= 2 (k-x)^2 / 8 & se & 2
Nessas condições, pede-se:
© E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida por duas expressões diferentes dependendo de $ x $. O que precisamos descobrir aqui são a esperança $ E(X) $ e a variância $ Var(X) $ dessa variável. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a função densidade esteja correta (ou seja, que a área total sob a curva seja 1) e então aplicar as fórmulas para calcular $ E(X) $ e $ Var(X) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade $ f(x) $ que nos foi dada:
f(x) á
Antes de calcular $ E(X) $ e $ Var(X) $, precisamos encontrar o valor de $ k $ que faz com que $ f(x) $ seja uma função densidade válida, ou seja, que a integral de $ f(x) $ de f(x) = x3, & 0 <= x <= 2 (k - x)^28, & 2 < x <= 4 0, & caso contrário a $ \infty $ seja igual a 1.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 4 (já que fora desse intervalo $ f(x) = 0 $):
f(x)
Primeiro, resolvemos a primeira integral:
f(x) = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral2^4 (k - x)^28 , dx = 18 integral2^4 (k - x)^2 , dx
Expandindo (k - x)^2:
(k - x)^2 = k^2 - 2kx + x^2
Então, a integral fica:
18 [ integral2^4 k^2 , dx - 2k integral2^4 x , dx + integral2^4 x^2 , dx ]
Calculando cada parte:
integral2^4 k^2 , dx = k^2 (4 - 2) = 2k^2
integral2^4 x , dx = [ x^22 ]2^4 = 162 - 42 = 8 - 2 = 6
integral2^4 x^2 , dx = [ x^33 ]2^4 = 643 - 83 = 563
Substituindo de volta:
18 ( 2k^2 - 2k cdot 6 + 563 ) = 18 ( 2k^2 - 12k + 563 ) = k^24 - 3k2 + 73

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
23 + ( k^24 - 3k2 + 73 ) = 1
Somando as frações:
23 + 73 = 3
Então:
k^24 - 3k2 + 3 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
k^24 - 3k2 + 2 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
k^2 - 6k + 8 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática $ k^2 - 6k + 8 = 0 $:
k^2 - 6k + 8 = 0
Vamos considerar ambos os valores de $ k $ para prosseguir.

Passo 7

Agora que temos $ k = 2 $ ou $ k = 4 $, vamos calcular a esperança $ E(X) $:
k = 2

Passo 8

Calculando a primeira integral para $ E(X) $:
E(X)

Passo 9

Agora, a segunda integral depende do valor de $ k $.
Primeiro, vamos expandir k :
(k - x)^2
Então, multiplicando por $ x $:
(k - x)^2 = k^2 - 2kx + x^2
Agora, integramos cada termo:
x
Calculando:
Para $ k = 4 $:
x(k - x)^2 = k^2x - 2kx^2 + x^3
Simplificando isso dá uma contribuição de aproximadamente $ 0,833 $.
Para $ k = 2 $:
integral2^4 k^2x - 2kx^2 + x^38 , dx = 18 [ k^2x^22 - 2k x^33 + x^44 ]2^4
Simplificando isso dá uma contribuição de aproximadamente $ 1,167 $.

Passo 10

Somando as duas partes para $ E(X) $:
Para $ k = 4 $:
E(X)
Para $ k = 2 $:
k = 4

Passo 11

Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $, que é dada por:
Var(X)
Primeiro, precisamos encontrar $ E(X^2) $:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Passo 12

Calculando a primeira parte de $ E(X^2) $:
E(X^2)

Passo 13

Para a segunda parte, expandimos (k - x)^2 e multiplicamos por $ x^2 $:
x^2
Integrando cada termo:
x^2(k - x)^2 = k^2x^2 - 2kx^3 + x^4
Fazendo os cálculos para cada valor de $ k $, encontramos:
Para $ k = 4 $:
integral2^4 k^2x^2 - 2kx^3 + x^48 , dx
Para $ k = 2 $:
k

Passo 14

Agora, calculamos a variância:
Para $ k = 4 $:
k = 4
Para $ k = 2 $:
Var(X) = 3,467 - (1,722)^2 approx 3,467 - 2,964 approx 0,503

Resposta

Para $ k = 4 $:
k = 4
Para $ k = 2 $:
E(X) approx 1,722 e Var(X) approx 0,503

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