Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade definida por:
f(x)=ll k(2 x-x^2) & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário á
a) Determine o valor da constante k .
b) Determine P(0 <= x <= 12).
c) Determine o valor esperado e a variância da v.a.

Passo 1

O enunciado dá uma v.a. contínua
e pede:
(a) achar a constante ,
(b) calcular por integração,
(c) obter e a partir de e .

Passo 2

Para determinar k usamos
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1kl(2x - x^2r),dx =1
Calculemos a integral:
integral0^1(2x - x^2),dx =l[x^2 - tfracx^33r]0^1 =1 - tfrac13 =tfrac23
Logo
kcdot tfrac23 = 1 Longrightarrow k = tfrac32

Passo 3

Para Pl(0<= X<=tfrac12r) fazemos
Pl(0<= X<=tfrac12r) =integral0^1/2kl(2x - x^2r),dx =tfrac32integral0^1/2(2x - x^2),dx
Dentro da integral:
integral0^1/2(2x - x^2),dx =l[x^2 - tfracx^33r]0^1/2 =tfrac14 - tfrac124 =tfrac524
Portanto
Pl(0<= X<=tfrac12r) =tfrac32cdot tfrac524 =tfrac1548 =tfrac516

Passo 4

O valor esperado é
E[X] =integral0^1x,f(x),dx =tfrac32integral0^1x(2x - x^2),dx =tfrac32integral0^1(2x^2 - x^3),dx
Calculemos a integral:
integral0^1(2x^2 - x^3),dx =l[tfrac2x^33 - tfracx^44r]0^1 =tfrac23 - tfrac14 =tfrac8-312 =tfrac512
Logo
E[X] =tfrac32cdot tfrac512 =tfrac1524 =tfrac58

Passo 5

Para a variância precisamos de E[X^2]:
E[X^2] =integral0^1x^2,f(x),dx =tfrac32integral0^1x^2(2x - x^2),dx =tfrac32integral0^1(2x^3 - x^4),dx
Calculando:
integral0^1(2x^3 - x^4),dx =l[tfrac2x^44 - tfracx^55r]0^1 =tfrac12 - tfrac15 =tfrac5-210 =tfrac310
Logo
E[X^2] =tfrac32cdot tfrac310 =tfrac920
E finalmente
Var(X) =E[X^2] - l(E[X]r)^2 =tfrac920 - l(tfrac58r)^2 =tfrac920 - tfrac2564 =tfrac144-125320 =tfrac19320

Resposta

a) k = tfrac32
b) Pl(0<= X<=tfrac12r)=tfrac516
c) E[X]=tfrac58, Var(X)=tfrac19320

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