Uma variável aleatória contínua X tem sua função densidade de probabilidade dada conforme abaixo:
f(x)=l14 x^3 se 0 <= x <= 2 0 caso contrário á
Determine P(12<x <= 1 rvert, X<32)

Passo 1

O enunciado dá uma variável contínua X com densidade
f(x)= 14x^3,&0<= x<=2, 0,&caso contrário, á
e pede a probabilidade condicional
Pl(tfrac12<X<=1 ,|, X<tfrac32r)
Isso envolve usar a fórmula de probabilidade condicional para variáveis contínuas e integrar a densidade para obter probabilidades.

Passo 2

Seja
A=tfrac12<X<=1, B=X<tfrac32
Pela definição de condicional,
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)
Como Asubset B (pois 1<tfrac32), temos Acap B=A e
Pl(tfrac12<X<=1 mid X<tfrac32r) =Pl(tfrac12<X<=1r)Pl(X<tfrac32r)

Passo 3

Calculamos a função distribuição acumulada (CDF)
F(t)=P(X<= t)=integral0^t14x^3,dx =t^416

Passo 4

O numerador é
Pl(tfrac12<X<=1r) =F(1)-Fl(tfrac12r) =1^416-l(tfrac12r)^416 =116-1256 =15256

Passo 5

O denominador é
Pl(X<tfrac32r) =Fl(tfrac32r) =l(tfrac32r)^416 =tfrac811616 =81256

Passo 6

Logo
Pl(tfrac12<X<=1 ,|, X<tfrac32r) =tfrac15256tfrac81256 =1581 =527

Resposta

527

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