Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição uniforme U(a, b). Mostre que a função densidade de probabilidade fX(x) é dada por:
fX(x)=1b-a para a <= x <= b

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua que é uniformemente distribuída no intervalo , ou seja, . O que queremos mostrar é que a densidade de probabilidade é uma constante para entre e .
Conteúdo: distribuição uniforme contínua e propriedade básica de uma função densidade de probabilidade (pdf):
  1. .
  2. .

Passo 2

Primeiro, por definição de “uniforme contínua”, a ideia é que dentro de fX(x)= c, & a<= x<= b, 0, & caso contrário, a densidade é a mesma em todo ponto e zero fora. Logo, a gente supõe:
á
onde é uma constante que ainda não sabemos. Isso garante já a não-negatividade ( ).

Passo 3

Agora impomos a condição de normalização da pdf, isto é:
integral-infty^inftyfX(x),dx =integrala^bc,dx =c,(b-a) stackrel!=1
Aqui usamos que fora de a densidade é zero, então a integral só “pega” de até .

Passo 4

Da igualdade c = 1b-a é trivial isolar :

Resposta

[
\boxed{
f_X(x)

boxed fX(x) = dfrac1b-a, & a<= x<= b,[6pt] 0, & caso contrário á
}
]

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