Seja uma variável aleatória contínua X, com função densidade de probabilidade f(x), e seja h(X)=a X+b, onde a e b in R. Sabendo que E(h(x))=integral-infty^infty h(x) f(x) d x, mostre que:
  • E(h(X))=a E(X)+b (propriedade da linearidade de E(X) );
  • V(h(X))=a^2 V(X).

Passo 1

O enunciado considera uma variável aleatória contínua X com densidade f(x) e a transformação afim
h(X)=aX+b,
onde a,binR. Queremos mostrar duas propriedades: a linearidade da esperança e como a variância se altera sob essa transformação.

Passo 2

Para a esperança definimos
El(h(X)r)=integral-infty^inftyh(x),f(x),dx =integral-infty^inftyl(a x+br),f(x),dx
Pela linearidade do integral temos
El(h(X)r) =aintegral-infty^inftyx,f(x),dx + bintegral-infty^inftyf(x),dx =a,E(X)+b

Passo 3

A variância de h(X) é
Vl(h(X)r) =El[l(h(X)-E(h(X))r)^2r]
Como já vimos que E(h(X))=a,E(X)+b, substituímos e obtemos
h(X)-E(h(X)) =aX+b-l(a,E(X)+br) =al(X-E(X)r)

Passo 4

Elevando ao quadrado e aplicando a definição de esperança novamente,
Vl(h(X)r) =El[a^2l(X-E(X)r)^2r] =a^2,El[(X-E(X))^2r] =a^2,V(X)

Resposta

E(h(X)) = a E(X) + b
V(h(X)) = a^2 V(X)

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