Seja uma variável aleatória contínua
, com função densidade de probabilidade
, e seja
, onde
e
. Sabendo que
, mostre que:
-
(propriedade da linearidade de
);
-
.
Passo 1
O enunciado considera uma variável aleatória contínua
com densidade
e a transformação afim
onde
. Queremos mostrar duas propriedades: a linearidade da esperança e como a variância se altera sob essa transformação.
Passo 2
Para a esperança definimos
Pela linearidade do integral temos
Passo 3
A variância de
é
Como já vimos que
, substituímos e obtemos
Passo 4
Elevando ao quadrado e aplicando a definição de esperança novamente,
Resposta
E(h(X))
a E(X)
b
V(h(X)) V(X)
V(h(X))