Seja X uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=38 x^2, x in[0,2]
Determine [Var(X)]^2. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: square
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória $ X $ e pede para a gente encontrar o quadrado da variância dessa variável, ou seja, X . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como valor esperado ($ E(X) [ Var(X) ]^2â \operatorname{Var}(X) $). Vamos calcular passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é basicamente a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, e é calculado pela integral de $ x $ vezes a função densidade $ f(x) $.
E(X)

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral0^2 x^3 , dx = [ x^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4
Então,
E(X) = 38 times 4 = 128 = 1.5

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado de $ X^{2} $, que é necessário para encontrar a variância:
X^2
Resolvendo a integral:
E(X^2) = integral0^2 x^2 cdot f(x) , dx = integral0^2 x^2 cdot 38 x^2 , dx = 38 integral0^2 x^4 , dx
Então,
integral0^2 x^4 , dx = [ x^55 ]0^2 = 325 - 0 = 325

Passo 5

Agora, sabemos que a variância é dada por:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.4 - (1.5)^2 = 2.4 - 2.25 = 0.15

Passo 6

Por fim, queremos o quadrado da variância:
[Var(X)]^2 = (0.15)^2 = 0.0225

Resposta

[Var(X)]^2 = 0.0225

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