Suponha que a concentraçâo de um poluente em água liberada por uma fábrica tenha distribuição normal com̉ média 18.91 e variância 2.62 (Utilize 4 casas decimais)
Qual a probabilidade, de que num dado dia, a concentração do poluente seja maior do que 19.42 ? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a distribuição normal da concentração de um poluente na água liberada por uma fábrica. A média dessa concentração é 18,91 e a variância é 2,62. A gente precisa calcular a probabilidade de, em um dia qualquer, essa concentração ser maior que 19,42. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e calcular o valor z correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é aquela famosa “curva em forma de sino”, que ajuda a modelar muitos fenômenos no mundo real. A média (18,91) nos diz onde está o centro dessa curva, e a variância (2,62) indica o quão espalhada ela é. Para encontrar a probabilidade que queremos, precisamos calcular o z-score, que é uma forma de padronizar nosso valor.

Passo 3

O z-score é dado pela fórmula:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que estamos analisando (19,42),
  • $ \mu $ é a média (18,91),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. Então, $ \sigma = \sqrt{2,62} $.

Passo 4

Vamos calcular $ \sigma $:
sigma
Agora, substituindo na fórmula do z-score:
sigma = raiz2,62 approx 1,6198

Passo 5

Com o z-score calculado, queremos saber a probabilidade de $ Z > 0,3150 $. Isso significa que queremos a área à direita de 0,3150 na curva normal padrão.

Passo 6

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que a área até 0,3150 (lado esquerdo) é aproximadamente 0,6236. Como o total da área abaixo da curva é 1, a probabilidade de $ Z > 0,3150 $ é:
Z > 0,3150

Resposta

A probabilidade de que, em um dia qualquer, a concentração do poluente seja maior que 19,42 é de aproximadamente 37,64%.

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