Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \beta.
Passo 1
O enunciado dá a densidade (pdf) de uma variável aleatória X\):
\[f(x,\beta)=\begin{cases} c(1+\beta x), & -1\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
O que o problema pede: obter o estimador de máxima verossimilhança (MLE) do parâmetro \beta\], supondo que há uma amostra independente e identicamente distribuída \(\,X_1,\dots,X_n dessa distribuição.
Informações relevantes fornecidas:
A forma funcional da pdf é c(1+\beta x) no intervalo [-1,1].
Há uma constante c (possivelmente dependendo de \beta) que garante normalização.
Para ser pdf válida, deve-se ter f(x,\beta)\ge0 para todo x\in[-1,1].]
Passo 2
Encontrar a constante de normalização c. A condição é
Observação importante: c é igual a 1/2 e não depende de \beta.
Passo 3
Determinar o espaço de parâmetros admissível para \beta (para que a pdf seja não-negativa em todo [-1,1]). A condição é 1+\beta x\ge0 para todo x\in[-1,1]. O mínimo de 1+\beta x no intervalo ocorre em x=-1 se \beta\ge0 (dando 1-\beta) e em x=1 se \beta<0 (dando 1+\beta). Assim a condição unificada é
-1\le\beta\le 1,
ou seja, o espaço de parâmetros natural é \beta\in[-1,1].
Passo 4
Escrever a verossimilhança da amostra \,X_1,\dots,X_n (i.i.d.). Como c=1/2,
(com estrita desigualdade se houver algum X_i\ne 0 e denominadores finitos). Assim \ell(\beta) é estritamente côncava no intervalo onde os denominadores são positivos, logo qualquer raiz da equação \ell'(\beta)=0 é único máximo global no intervalo admissível. Se não existir raiz interna, o máximo ocorre em uma fronteira \beta=-1 ou \beta=1 (avaliar L(-1) e L(1)).
Passo 8
Comentário sobre solução prática e solução fechada: a equação
\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{1+\beta X_i}=0
é, em geral, uma equação não-linear em \beta sem solução fechada simples. Portanto o estimador de máxima verossimilhança \hat\beta é definido implicitamente como a única solução dessa equação no intervalo [-1,1]. Para obter numericamente \hat\beta pode-se usar métodos iterativos (por exemplo Newton–Raphson). A iteração de Newton a partir de um chute inicial \beta^{(0)} é
Boa aproximação inicial analítica (útil na prova se quiser uma aproximação rápida): para \beta pequeno, expandindo \dfrac{1}{1+\beta X_i}=1-\beta X_i+O(\beta^2) obtemos