Seja X uma variável aleatória com f d p dada por:
f(x, \beta)=\left\{ \begin{array}{cc} c(1+\beta x), & -1 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array} \right.
Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \beta.

Passo 1

O enunciado dá a densidade (pdf) de uma variável aleatória X\): \[f(x,\beta)=\begin{cases} c(1+\beta x), & -1\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
O que o problema pede: obter o estimador de máxima verossimilhança (MLE) do parâmetro \beta\], supondo que há uma amostra independente e identicamente distribuída \(\,X_1,\dots,X_n dessa distribuição.
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma funcional da pdf é c(1+\beta x) no intervalo [-1,1].
  • Há uma constante c (possivelmente dependendo de \beta) que garante normalização.
  • Para ser pdf válida, deve-se ter f(x,\beta)\ge0 para todo x\in[-1,1].]

Passo 2

Encontrar a constante de normalização c. A condição é
\int_{-1}^{1} c(1+\beta x)\,dx = 1.
Calcule a integral:
\int_{-1}^{1} (1+\beta x)\,dx = \int_{-1}^{1} 1\,dx + \beta\int_{-1}^{1} x\,dx = 2 + \beta\cdot 0 = 2.
Portanto
c\cdot 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{2}.
Observação importante: c é igual a 1/2 e não depende de \beta.

Passo 3

Determinar o espaço de parâmetros admissível para \beta (para que a pdf seja não-negativa em todo [-1,1]). A condição é 1+\beta x\ge0 para todo x\in[-1,1]. O mínimo de 1+\beta x no intervalo ocorre em x=-1 se \beta\ge0 (dando 1-\beta) e em x=1 se \beta<0 (dando 1+\beta). Assim a condição unificada é
-1\le\beta\le 1,
ou seja, o espaço de parâmetros natural é \beta\in[-1,1].

Passo 4

Escrever a verossimilhança da amostra \,X_1,\dots,X_n (i.i.d.). Como c=1/2,
L(\beta)=\prod_{i=1}^{n} f(X_i,\beta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\bigl(1+\beta X_i\bigr)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\prod_{i=1}^{n}\bigl(1+\beta X_i\bigr),
com restrição \beta\in[-1,1] (para a validade da pdf).

Passo 5

Trabalhar com a log-verossimilhança (mais fácil para derivar):
\ell(\beta)=\ln L(\beta)= -n\ln 2 + \sum_{i=1}^{n}\ln\bigl(1+\beta X_i\bigr).

Passo 6

Derivar \ell(\beta) em relação a \beta e anular para obter candidato a máximo:
\ell'(\beta)=\frac{d}{d\beta}\ell(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{1+\beta X_i}.
A equação de máxima verossimilhança é
\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{1+\beta X_i}=0,
com a solução procurada \hat\beta devendo satisfazer essa equação e \hat\beta\in[-1,1].

Passo 7

Verificar natureza do ponto crítico: a segunda derivada é
\ell''(\beta)= -\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i^{2}}{(1+\beta X_i)^{2}} \le 0,
(com estrita desigualdade se houver algum X_i\ne 0 e denominadores finitos). Assim \ell(\beta) é estritamente côncava no intervalo onde os denominadores são positivos, logo qualquer raiz da equação \ell'(\beta)=0 é único máximo global no intervalo admissível. Se não existir raiz interna, o máximo ocorre em uma fronteira \beta=-1 ou \beta=1 (avaliar L(-1) e L(1)).

Passo 8

Comentário sobre solução prática e solução fechada: a equação
\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{1+\beta X_i}=0
é, em geral, uma equação não-linear em \beta sem solução fechada simples. Portanto o estimador de máxima verossimilhança \hat\beta é definido implicitamente como a única solução dessa equação no intervalo [-1,1]. Para obter numericamente \hat\beta pode-se usar métodos iterativos (por exemplo Newton–Raphson). A iteração de Newton a partir de um chute inicial \beta^{(0)} é
\beta^{(t+1)}=\beta^{(t)}-\frac{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{X_i}{1+\beta^{(t)} X_i}}{-\sum_{i=1}^{n}\dfrac{X_i^{2}}{(1+\beta^{(t)} X_i)^{2}}} =\beta^{(t)}+\frac{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{X_i}{1+\beta^{(t)} X_i}}{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{X_i^{2}}{(1+\beta^{(t)} X_i)^{2}}}.

Passo 9

Boa aproximação inicial analítica (útil na prova se quiser uma aproximação rápida): para \beta pequeno, expandindo \dfrac{1}{1+\beta X_i}=1-\beta X_i+O(\beta^2) obtemos
\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{1+\beta X_i}\approx \sum_{i=1}^{n}X_i - \beta\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}.
Igualando a zero dá a aproximação
\hat\beta \approx \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i^{2}}.
Essa é uma estimativa inicial razoável para usar em iterações numéricas (ou como aproximação se \beta for realmente pequeno).

Resposta

\displaystyle \hat\beta_{\text{MLE}} é a solução em \beta\in[-1,1] da equação
\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{1+\beta X_i}=0.
Aproximação inicial conveniente:
\hat\beta_{\text{MLE}}\approx \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i^{2}}.

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