Seja X uma variável aleatória com f d p dada por:
f(x, \beta)=\left\{ \begin{array}{cc} c(1+\beta x), & -1 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array} \right.
Determine o valor da constante c para que f(x, \beta) seja realmente uma f d p para X ;

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,\beta)=\begin{cases} c(1+\beta x), & -1\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
e pede para determinar o valor da constante c para que f(x,\beta) seja realmente uma função densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória X.
Informações dadas:
  • A expressão da densidade em [-1,1] é c(1+\beta x), com c constante a determinar e \beta parâmetro.
  • Fora de [-1,1] a densidade vale 0.
O que é pedido:
  • Encontrar c de modo que f(x,\beta) seja uma fdp válida (ou seja, satisfaça as propriedades necessárias).]

Passo 2

Relembrando didaticamente: para que uma função f seja uma função densidade de probabilidade precisa satisfazer duas condições essenciais:
  1. Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x no domínio.
  2. Normalização: a integral da densidade sobre todo o espaço vale 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No nosso caso o domínio não nulo é [-1,1], então a condição de normalização fica
\int_{-1}^{1} f(x,\beta)\,dx = 1.
Aqui c é a constante que vamos determinar pela normalização; \beta é um parâmetro dado (a condição de não-negatividade depois impõe restrições em \beta).

Passo 3

Aplicando a condição de normalização:
\int_{-1}^{1} f(x,\beta)\,dx = \int_{-1}^{1} c(1+\beta x)\,dx = c\left(\int_{-1}^{1} 1\,dx + \beta\int_{-1}^{1} x\,dx\right).
Agora calculamos as duas integrais simples:
\int_{-1}^{1} 1\,dx = 2,
e
\int_{-1}^{1} x\,dx = 0,
porque a função x é ímpar (isto é, x=-(-x)) e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
\int_{-1}^{1} c(1+\beta x)\,dx = c(2 + \beta\cdot 0) = 2c.
Para normalizar igual a 1 exigimos 2c=1.

Passo 4

Resolvendo 2c=1 obtemos
c=\frac{1}{2}.
Essa é a constante que assegura a normalização independentemente do valor de \beta, porque o termo com \beta integrou para zero sobre [-1,1].

Passo 5

Agora a condição de não-negatividade: além da normalização, é preciso garantir que f(x,\beta)\ge 0 para todo x\in[-1,1]. Com c=\tfrac{1}{2} isso equivale a exigir
1+\beta x \ge 0\quad\text{para todo }x\in[-1,1].
Para determinar as restrições em \beta note que o mínimo de 1+\beta x no intervalo ocorre em uma das extremidades:
  • Se \beta\ge 0 o mínimo está em x=-1, dando 1-\beta\ge 0\Rightarrow \beta\le 1.
  • Se \beta\le 0 o mínimo está em x=1, dando 1+\beta\ge 0\Rightarrow \beta\ge -1.
    Unindo os dois casos obtemos a condição
\beta\in[-1,1].
Se \beta sair desse intervalo existem pontos em [-1,1] onde 1+\beta x<0 e a função deixa de ser não-negativa, logo não é fdp.

Resposta

c=\dfrac{1}{2}
Para que f(x,\beta) seja não-negativa em [-1,1] e, portanto, uma fdp válida, é necessário \beta\in[-1,1].

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