e pede para determinar o valor da constante c para que f(x,\beta) seja realmente uma função densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória X.
Informações dadas:
A expressão da densidade em [-1,1] é c(1+\beta x), com c constante a determinar e \beta parâmetro.
Fora de [-1,1] a densidade vale 0.
O que é pedido:
Encontrar c de modo que f(x,\beta) seja uma fdp válida (ou seja, satisfaça as propriedades necessárias).]
Passo 2
Relembrando didaticamente: para que uma função f seja uma função densidade de probabilidade precisa satisfazer duas condições essenciais:
Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x no domínio.
Normalização: a integral da densidade sobre todo o espaço vale 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No nosso caso o domínio não nulo é [-1,1], então a condição de normalização fica
\int_{-1}^{1} f(x,\beta)\,dx = 1.
Aqui c é a constante que vamos determinar pela normalização; \beta é um parâmetro dado (a condição de não-negatividade depois impõe restrições em \beta).
Essa é a constante que assegura a normalização independentemente do valor de \beta, porque o termo com \beta integrou para zero sobre [-1,1].
Passo 5
Agora a condição de não-negatividade: além da normalização, é preciso garantir que f(x,\beta)\ge 0 para todo x\in[-1,1]. Com c=\tfrac{1}{2} isso equivale a exigir
1+\beta x \ge 0\quad\text{para todo }x\in[-1,1].
Para determinar as restrições em \beta note que o mínimo de 1+\beta x no intervalo ocorre em uma das extremidades:
Se \beta\ge 0 o mínimo está em x=-1, dando 1-\beta\ge 0\Rightarrow \beta\le 1.
Se \beta\le 0 o mínimo está em x=1, dando 1+\beta\ge 0\Rightarrow \beta\ge -1.
Unindo os dois casos obtemos a condição
\beta\in[-1,1].
Se \beta sair desse intervalo existem pontos em [-1,1] onde 1+\beta x<0 e a função deixa de ser não-negativa, logo não é fdp.
Resposta
c=\dfrac{1}{2}
Para que f(x,\beta) seja não-negativa em [-1,1] e, portanto, uma fdp válida, é necessário \beta\in[-1,1].