Obtenha as equações que têm de ser resolvidas para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetro \beta e \delta. Quais as complicações envolvidas na resolução destas equações? (Resposta: \beta=\left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta} \ln x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta}}-\frac{\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}}{n}\right]^{-1} e \delta= \left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta}}{n}\right]^{\frac{1}{\beta}}; métodos numéricos computacionais são requeridos.)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a função densidade de probabilidade para uma variável aleatória X\) de Weibull:
\[f(x,\beta,\delta)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\beta}{\delta}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta-1} e^{-\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta}}, & x>0,\\[6pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
Assume uma amostra independente e identicamente distribuída x_1,x_2,\dots,x_n>0\] proveniente dessa distribuição (isto é implícito quando se pede estimadores de máxima verossimilhança).
- O enunciado pede: obter as equações que têm de ser resolvidas para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança (MLE) dos parâmetros \(\beta e \delta, e comentar as complicações na resolução dessas equações.]
Passo 2
Construir a função de verossimilhança e o logaritmo da verossimilhança (passo-a-passo, sem pular etapas).
A verossimilhança L(\beta,\delta) é o produto das densidades dos n observados:
Expliquei como cada parcela surge do produto original.
Passo 3
Derivar a log-verossimilhança em relação a \delta e encontrar a equação para o estimador de \delta.
Vamos calcular \dfrac{\partial \ell}{\partial \delta}. Observe as parcelas que dependem de \delta:
-n\beta\ln\delta tem derivada -\dfrac{n\beta}{\delta}.
-\sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{x_i}{\delta}\right)^{\beta} precisa da regra da cadeia: para uma parcela - (x_i/\delta)^{\beta}, a derivada em \delta é - x_i^{\beta}\cdot \dfrac{d}{d\delta}(\delta^{-\beta}) = - x_i^{\beta}\cdot (-\beta)\delta^{-\beta-1} = \beta x_i^{\beta}\delta^{-\beta-1}.
Comentário didático: isso mostra que o estimador de \delta , para um dado \beta, pode ser escrito explicitamente em termos de \beta e das observações — mas note que \beta ainda é desconhecido. Isso gera um acoplamento entre as equações.
Passo 4
Derivar a log-verossimilhança em relação a \beta e obter a equação que \beta deve satisfazer.
Para -\sum (x_i/\delta)^{\beta}, use que \dfrac{d}{d\beta} a^{\beta}=a^{\beta}\ln a. Aqui a=(x_i/\delta), logo a derivada é -\sum_{i=1}^n (x_i/\delta)^{\beta}\ln(x_i/\delta).
Observe que \sum_{i=1}^{n}\dfrac{x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}}=\dfrac{1}{\delta^{\beta}}\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}. Pelo Passo 3, \delta^{\beta}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}. Logo:
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}} = n.
Substituindo isso, as parcelas com \ln\delta se cancelam:
A equação para \beta é implícita e não linear: \beta aparece dentro dos somatórios \sum x_i^{\beta} e \sum x_i^{\beta}\ln x_i e também do lado esquerdo. Não há fórmula fechada (algebraica) para \beta em termos diretos dos dados.
Assim, é necessário usar métodos numéricos iterativos (por exemplo Newton–Raphson, método da bissecção, ou otimização numérica) para resolver a equação para \beta.
Uma vez obtido numericamente \widehat{\beta}, obtém-se \widehat{\delta} pela expressão explícita acima substituindo \beta=\widehat{\beta}.
Dica concreta para um método prático (Newton–Raphson):
Defina a função de uma variável \varphi(\beta) cuja raiz é a condição da derivada nula. Uma forma conveniente é
Para Newton é preciso \varphi'(\beta). Se definirmos S_0(\beta)=\sum x_i^{\beta}, S_1(\beta)=\sum x_i^{\beta}\ln x_i, S_2(\beta)=\sum x_i^{\beta}(\ln x_i)^2, então
A iteração de Newton é \beta_{\text{new}}=\beta - \dfrac{\varphi(\beta)}{\varphi'(\beta)}. Começar com um chute inicial razoável (por exemplo \beta=1 ou um valor obtido por momentoss aproximados) e iterar até convergir.
Depois calcular \delta por \delta=\big(S_0(\widehat{\beta})/n\big)^{1/\widehat{\beta}}.
Observações práticas: escolher bom chute inicial e controlar critério de parada (diferença entre iterações pequena) ajuda; cuidado com instabilidades numéricas se os dados variam muito.