Seja X uma variável aleatória de Weibull, cuja f d p é dada por:
f(x, \beta, \delta)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\beta}{\delta}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta-1} e^{\left[-\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta}\right]}, & x>0 \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array}\right.
Obtenha as equações que têm de ser resolvidas para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetro \beta e \delta. Quais as complicações envolvidas na resolução destas equações? (Resposta: \beta=\left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta} \ln x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta}}-\frac{\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}}{n}\right]^{-1} e \delta= \left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta}}{n}\right]^{\frac{1}{\beta}}; métodos numéricos computacionais são requeridos.)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função densidade de probabilidade para uma variável aleatória X\) de Weibull: \[f(x,\beta,\delta)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\beta}{\delta}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta-1} e^{-\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta}}, & x>0,\\[6pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
  • Assume uma amostra independente e identicamente distribuída x_1,x_2,\dots,x_n>0\] proveniente dessa distribuição (isto é implícito quando se pede estimadores de máxima verossimilhança). - O enunciado pede: obter as equações que têm de ser resolvidas para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança (MLE) dos parâmetros \(\beta e \delta, e comentar as complicações na resolução dessas equações.]

Passo 2

Construir a função de verossimilhança e o logaritmo da verossimilhança (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • A verossimilhança L(\beta,\delta) é o produto das densidades dos n observados:
L(\beta,\delta)=\prod_{i=1}^{n} f(x_i,\beta,\delta).
  • Substituindo a forma da f:
L(\beta,\delta)=\prod_{i=1}^{n} \frac{\beta}{\delta}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta-1} e^{-\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}}.
  • Agrupando termos (explicar cada fator):
    • O fator \frac{\beta}{\delta} aparece n vezes, então contribui com \beta^n no numerador e \delta^n no denominador.
    • O fator \left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta-1} \prod_{i} x_i^{\beta-1} e \delta^{-(\beta-1)n}.
    • O fator exponencial dá \exp\!\left(-\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}\right).
  • Combinando os termos em \delta: \delta^{-n}\cdot\delta^{-(\beta-1)n}=\delta^{-n\beta}.
  • Portanto:
L(\beta,\delta)=\beta^{n}\,\left(\prod_{i=1}^{n} x_i^{\beta-1}\right)\,\delta^{-n\beta}\,\exp\!\left(-\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}\right).
  • É mais prático trabalhar com o logaritmo da verossimilhança \ell(\beta,\delta)=\ln L(\beta,\delta). Calculando termo a termo:
\ell(\beta,\delta)=n\ln\beta+(\beta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_i - n\beta\ln\delta -\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}.
Expliquei como cada parcela surge do produto original.

Passo 3

Derivar a log-verossimilhança em relação a \delta e encontrar a equação para o estimador de \delta.
  • Vamos calcular \dfrac{\partial \ell}{\partial \delta}. Observe as parcelas que dependem de \delta:
    • -n\beta\ln\delta tem derivada -\dfrac{n\beta}{\delta}.
    • -\sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{x_i}{\delta}\right)^{\beta} precisa da regra da cadeia: para uma parcela - (x_i/\delta)^{\beta}, a derivada em \delta é - x_i^{\beta}\cdot \dfrac{d}{d\delta}(\delta^{-\beta}) = - x_i^{\beta}\cdot (-\beta)\delta^{-\beta-1} = \beta x_i^{\beta}\delta^{-\beta-1}.
  • Somando as derivadas:
\frac{\partial \ell}{\partial \delta} = -\frac{n\beta}{\delta} + \beta\delta^{-\beta-1}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}.
  • Colocar fator comum \dfrac{\beta}{\delta}:
\frac{\partial \ell}{\partial \delta} = \frac{\beta}{\delta}\left(-n + \delta^{-\beta}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}\right).
  • Igualando a zero (condição de máximo):
\frac{\beta}{\delta}\left(-n + \delta^{-\beta}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}\right)=0.
  • Como \beta>0 e \delta>0 (parâmetros do Weibull), a solução vem da parte entre parênteses:
-n + \delta^{-\beta}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}=0.
  • Isolando \delta^{\beta}:
\delta^{\beta} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}.
  • Portanto:
\delta = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}\right)^{1/\beta}.
  • Comentário didático: isso mostra que o estimador de \delta , para um dado \beta, pode ser escrito explicitamente em termos de \beta e das observações — mas note que \beta ainda é desconhecido. Isso gera um acoplamento entre as equações.

Passo 4

Derivar a log-verossimilhança em relação a \beta e obter a equação que \beta deve satisfazer.
  • Começamos da expressão:
\ell(\beta,\delta)=n\ln\beta+(\beta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_i - n\beta\ln\delta -\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}.
  • Derivando em relação a \beta termo a termo:
    • \dfrac{d}{d\beta}\big(n\ln\beta\big)=\dfrac{n}{\beta}.
    • \dfrac{d}{d\beta}\big((\beta-1)\sum \ln x_i\big)=\sum_{i=1}^n \ln x_i.
    • \dfrac{d}{d\beta}\big(-n\beta\ln\delta\big)=-n\ln\delta.
    • Para -\sum (x_i/\delta)^{\beta}, use que \dfrac{d}{d\beta} a^{\beta}=a^{\beta}\ln a. Aqui a=(x_i/\delta), logo a derivada é -\sum_{i=1}^n (x_i/\delta)^{\beta}\ln(x_i/\delta).
  • Portanto:
\frac{\partial \ell}{\partial \beta} = \frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^{n}\ln x_i - n\ln\delta - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}\ln\left(\frac{x_i}{\delta}\right).
  • Igualando a zero para encontrar o estimador:
\frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^{n}\ln x_i - n\ln\delta - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}\ln\left(\frac{x_i}{\delta}\right) = 0.

Passo 5

Manipular a equação para \beta substituindo a relação para \delta^{\beta} obtida no Passo 3, e simplificar até a forma final.
  • Expanda \ln(x_i/\delta)=\ln x_i - \ln\delta e (x_i/\delta)^{\beta}=x_i^{\beta}/\delta^{\beta} na soma:
\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\delta}\right)^{\beta}\ln\left(\frac{x_i}{\delta}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}}\big(\ln x_i - \ln\delta\big).
  • Substituir na equação de \partial \ell/\partial \beta=0:
\frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^{n}\ln x_i - n\ln\delta - \left[\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{\delta^{\beta}} - \ln\delta\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}}\right]=0.
  • Observe que \sum_{i=1}^{n}\dfrac{x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}}=\dfrac{1}{\delta^{\beta}}\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}. Pelo Passo 3, \delta^{\beta}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}. Logo:
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}}{\delta^{\beta}} = n.
  • Substituindo isso, as parcelas com \ln\delta se cancelam:
\frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^{n}\ln x_i - n\ln\delta - \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{\delta^{\beta}} + \ln\delta\cdot n = 0,
o que simplifica para
\frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^{n}\ln x_i - \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{\delta^{\beta}} = 0.
  • Isolando \dfrac{n}{\beta}:
\frac{n}{\beta} = \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{\delta^{\beta}} - \sum_{i=1}^{n}\ln x_i.
  • Dividindo por n e invertendo ambos os lados para escrever \beta explicitamente:
\beta = \left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{\delta^{\beta}} - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right]^{-1}.
  • Agora usar \delta^{\beta}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta} para simplificar a fração:
    • Note que
    \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{\delta^{\beta}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{\beta}\ln x_i}{(1/n)\sum_{j=1}^{n}x_j^{\beta}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^{\beta}\ln x_i}{\sum_{j=1}^{n}x_j^{\beta}}.
  • Substituindo, obtemos a forma final desejada para \beta:
\beta = \left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}\ln x_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}} - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right]^{-1}.

Passo 6

Resumir as equações que os estimadores de máxima verossimilhança devem satisfazer e explicar pedagogicamente por que há complicação prática.
  • As equações finais (acopladas) são:
    • Para \beta:
    \beta = \left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}\ln x_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}} - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right]^{-1}.
    • Para \delta:
    \delta = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^{\beta}\right)^{1/\beta}.
  • Por que isso é complicado na prática?
    • A equação para \beta é implícita e não linear: \beta aparece dentro dos somatórios \sum x_i^{\beta} e \sum x_i^{\beta}\ln x_i e também do lado esquerdo. Não há fórmula fechada (algebraica) para \beta em termos diretos dos dados.
    • Assim, é necessário usar métodos numéricos iterativos (por exemplo Newton–Raphson, método da bissecção, ou otimização numérica) para resolver a equação para \beta.
    • Uma vez obtido numericamente \widehat{\beta}, obtém-se \widehat{\delta} pela expressão explícita acima substituindo \beta=\widehat{\beta}.
  • Dica concreta para um método prático (Newton–Raphson):
    • Defina a função de uma variável \varphi(\beta) cuja raiz é a condição da derivada nula. Uma forma conveniente é
    \varphi(\beta)=\frac{1}{\beta} + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{\sum_{i=1}^n x_i^{\beta}\ln x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^{\beta}}.
    • Para Newton é preciso \varphi'(\beta). Se definirmos S_0(\beta)=\sum x_i^{\beta}, S_1(\beta)=\sum x_i^{\beta}\ln x_i, S_2(\beta)=\sum x_i^{\beta}(\ln x_i)^2, então
    \frac{d}{d\beta}\left(\frac{S_1}{S_0}\right) = \frac{S_2 S_0 - S_1^2}{S_0^2},e então \varphi'(\beta) = -\frac{1}{\beta^2} - \frac{S_2 S_0 - S_1^2}{S_0^2}.
    • A iteração de Newton é \beta_{\text{new}}=\beta - \dfrac{\varphi(\beta)}{\varphi'(\beta)}. Começar com um chute inicial razoável (por exemplo \beta=1 ou um valor obtido por momentoss aproximados) e iterar até convergir.
    • Depois calcular \delta por \delta=\big(S_0(\widehat{\beta})/n\big)^{1/\widehat{\beta}}.
  • Observações práticas: escolher bom chute inicial e controlar critério de parada (diferença entre iterações pequena) ajuda; cuidado com instabilidades numéricas se os dados variam muito.

Resposta

\beta=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta} \ln x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta}}-\dfrac{\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}}{n}\right]^{-1}\n
\delta=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\beta}}{n}\right]^{\frac{1}{\beta}}

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