Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \mu, que descreve a média do processo de Poisson. (Resposta: \hat{\mu}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} )
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade de uma variável aleatória X\):
\[f(x,\mu)=\begin{cases} \dfrac{e^{-\mu}\mu^{x}}{x!}, & x=0,1,2,\ldots\\[6pt] 0, & \text{caso contrário} \end{cases}
O que se pede: obter o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro \mu\], ou seja, a fórmula de \(\hat{\mu} que maximiza a verossimilhança dada uma amostra observada.
Informações relevantes fornecidas:
A forma do modelo probabilístico para cada observação X (a função de probabilidade acima).
Vou assumir que há uma amostra aleatória simples de tamanho n de observações independentes e identicamente distribuídas, X_{1},X_{2},\dots,X_{n} (isso é padrão quando se pede MLE).]
Passo 2
Formular a função verossimilhança para a amostra observada (X_{1}=x_{1},\dots,X_{n}=x_{n}).
Como as observações são independentes, a verossimilhança L(\mu) é o produto das probabilidades individuais:
Como \sum_{i=1}^{n} x_{i}\ge 0 e \mu^{2}>0 para \mu>0, tem-se \dfrac{d^{2}\ell}{d\mu^{2}}<0 (exceto no caso degenerado em que todas as observações são zero, onde o raciocínio limite leva a \hat\mu=0). Portanto a solução encontrada é realmente um máximo da log-verossimilhança.
Passo 6
Interpretação e dica prática de prova: o estimador de máxima verossimilhança para \mu é simplesmente a média amostral. Na hora da prova faça:
Some todas as observações: S=\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
Divida por n: \hat{\mu}=S/n.
Exemplo rápido: se n=4 e os dados forem 1,2,0,3, então S=1+2+0+3=6 e \hat{\mu}=6/4=1,5.
Passo 7
Resumo intuitivo e motivação curta: a distribuição dada tem parâmetro \mu que é a média teórica da distribuição. Faz sentido que o melhor palpite por máxima verossimilhança sobre essa média, com base na amostra, seja a média amostral — ela iguala informação empírica (média observada) ao parâmetro que controla a média teórica.