Seja X uma variável aleatória de Poisson, cuja função de probabilidade é dada por:
f(x, \mu)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{-\mu} \mu^{x}}{x!}, & x=0,1,2,3, \ldots \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array}\right.
Obtenha o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \mu, que descreve a média do processo de Poisson. (Resposta: \hat{\mu}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} )

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade de uma variável aleatória X\): \[f(x,\mu)=\begin{cases} \dfrac{e^{-\mu}\mu^{x}}{x!}, & x=0,1,2,\ldots\\[6pt] 0, & \text{caso contrário} \end{cases}
O que se pede: obter o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro \mu\], ou seja, a fórmula de \(\hat{\mu} que maximiza a verossimilhança dada uma amostra observada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma do modelo probabilístico para cada observação X (a função de probabilidade acima).
  • Vou assumir que há uma amostra aleatória simples de tamanho n de observações independentes e identicamente distribuídas, X_{1},X_{2},\dots,X_{n} (isso é padrão quando se pede MLE).]

Passo 2

Formular a função verossimilhança para a amostra observada (X_{1}=x_{1},\dots,X_{n}=x_{n}).
Como as observações são independentes, a verossimilhança L(\mu) é o produto das probabilidades individuais:
L(\mu)=\prod_{i=1}^{n} f(x_{i},\mu)=\prod_{i=1}^{n}\frac{e^{-\mu}\mu^{x_{i}}}{x_{i}!}.
Agora simplificar o produto: fator e^{-\mu} aparece n vezes e \mu^{x_{i}} multiplicam-se somando expoentes, enquanto os x_{i}! ficam no denominador:
L(\mu)=e^{-n\mu}\,\mu^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}\;\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}!}.
Observação prática: o fator \prod_{i=1}^{n}x_{i}! não depende de \mu, então para maximizar em \mu ele pode ser tratado como constante.

Passo 3

Para facilitar a maximização, workamos com a log-verossimilhança (log-likelihood), que transforma produto em soma e preserva o ponto de máximo:
\ell(\mu)=\log L(\mu)=\log\!\bigl(e^{-n\mu}\bigr)+\log\!\bigl(\mu^{\sum x_{i}}\bigr)+\log\!\Bigl(\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}!}\Bigr).
Usando propriedades do logaritmo:
\ell(\mu)=-n\mu+\Bigl(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\Bigr)\log\mu-\sum_{i=1}^{n}\log(x_{i}!).
Repare que a última soma \sum \log(x_{i}!) é constante em relação a \mu.

Passo 4

Encontrar o máximo: derivar \ell(\mu) em relação a \mu e igualar a zero (condição de estacionaridade).
Calcule a derivada:
\frac{d\ell}{d\mu}=-n+\Bigl(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\Bigr)\frac{1}{\mu}.
Colocando em forma simples:
\frac{d\ell}{d\mu}=-n+\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{\mu}.
Agora igualar a zero para obter candidato a máximo:
-n+\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{\mu}=0.
Resolver para \mu:
\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{\mu}=n \quad\Rightarrow\quad \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.

Passo 5

Verificar que o ponto encontrado é máximo (não mínimo ou ponto de sela). Calcular a segunda derivada:
\frac{d^{2}\ell}{d\mu^{2}}=-\Bigl(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\Bigr)\frac{1}{\mu^{2}}.
Como \sum_{i=1}^{n} x_{i}\ge 0 e \mu^{2}>0 para \mu>0, tem-se \dfrac{d^{2}\ell}{d\mu^{2}}<0 (exceto no caso degenerado em que todas as observações são zero, onde o raciocínio limite leva a \hat\mu=0). Portanto a solução encontrada é realmente um máximo da log-verossimilhança.

Passo 6

Interpretação e dica prática de prova: o estimador de máxima verossimilhança para \mu é simplesmente a média amostral. Na hora da prova faça:
  • Some todas as observações: S=\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
  • Divida por n: \hat{\mu}=S/n.
    Exemplo rápido: se n=4 e os dados forem 1,2,0,3, então S=1+2+0+3=6 e \hat{\mu}=6/4=1,5.

Passo 7

Resumo intuitivo e motivação curta: a distribuição dada tem parâmetro \mu que é a média teórica da distribuição. Faz sentido que o melhor palpite por máxima verossimilhança sobre essa média, com base na amostra, seja a média amostral — ela iguala informação empírica (média observada) ao parâmetro que controla a média teórica.

Resposta

\hat{\mu}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}

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