Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição equiprovável sobre os inteiros de 1 a m, e Y uma variável aleatória discreta com distribuição equiprovável sobre os inteiros de 1 a n. Seja Z=X - Y. Mostre que a esperança e a variância de Z são dadas por
mu=m-n2
sigma^2=m^2+n^212-16
Sugestão: Use os resultados citados no exercício anterior

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas variáveis aleatórias independentes, X cai uniformemente em {1,2,…,m} e Y cai uniformemente em {1,2,…,n}. Definimos Z = X – Y. A parada é mostrar que
mu = E[Z] = m - n2 e sigma^2 = Var(Z) = m^2 + n^212 - 16
O conteúdo que vamos usar é:
  • Expectativa de variáveis discretas.
  • Variância e propriedades de soma/escala de variáveis independentes.
  • Resultados clássicos da distribuição uniforme discreta de 1 a k: E[U] = k+12, Var(U)=k^2-112

Passo 2

Primeiro queremos E[X - Y] = E[X] - E[Y] . A teoria diz que, para quaisquer variáveis X e Y (independentes ou não),
E[X] = m+12
Como X é uniforme em E[Y] = n+12 , sabemos
E[Z] = E[X] - E[Y] = m+12 - n+12 = m - n2
Do mesmo jeitinho,
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Passo 3

Agora partimos para Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y), . A propriedade fundamental é: se X e Y são independentes,
Var(X) = m^2 - 112, Var(Y) = n^2 - 112
porque Var(Z) = m^2 - 112 + n^2 - 112 = m^2 + n^2 - 212 = m^2 + n^212 - 212 = m^2 + n^212 - 16 e o sinal “–” não muda o fato de somar variâncias.
Sabemos da uniforme discreta que
Então

Resposta

E[Z] =
Var(Z) =

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