Seja
uma variável aleatória discreta com distribuição equiprovável sobre os inteiros de 1 a
, e Y uma variável aleatória discreta com distribuição equiprovável sobre os inteiros de 1 a
. Seja
- Y. Mostre que a esperança e a variância de Z são dadas por
Sugestão: Use os resultados citados no exercício anterior
Sugestão: Use os resultados citados no exercício anterior
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas variáveis aleatórias independentes, X cai uniformemente em {1,2,…,m} e Y cai uniformemente em {1,2,…,n}. Definimos Z = X – Y. A parada é mostrar que
O conteúdo que vamos usar é:
- Expectativa de variáveis discretas.
- Variância e propriedades de soma/escala de variáveis independentes.
- Resultados clássicos da distribuição uniforme discreta de 1 a k:
Passo 2
Primeiro queremos
. A teoria diz que, para quaisquer variáveis X e Y (independentes ou não),
Como X é uniforme em
, sabemos
Do mesmo jeitinho,
Logo
Passo 3
Agora partimos para
. A propriedade fundamental é: se X e Y são independentes,
porque
e o sinal “–” não muda o fato de somar variâncias.
Sabemos da uniforme discreta que
Sabemos da uniforme discreta que
Então
Resposta
E[Z] =
Var(Z) =
Var(Z) =