Mostre que, se
é uma variável aleatória com distribuição equiprovável sobre os inteiros de 1 a
, então
e
Dados:
e
e
Dados:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma variável aleatória
que vale cada inteiro de
a
com a mesma chance (distribuição uniforme discreta). Precisamos mostrar que
- a esperança
vale , - a variância
vale .
Conteúdo e materiais:
- Definição de esperança de variável discreta:
- Definição de variância:
- Fórmulas dadas:
e
Passo 2
Calcular
.
Como cada valor tem probabilidade
,
Como cada valor
Aqui usamos a definição de esperança e a soma dos inteiros.
Passo 3
Calcular
.
Isso usa a mesma ideia, mas somando
.
Passo 4
Calcular a variância via
.
Substituindo:
Substituindo:
Vamos pôr tudo sobre um denominador comum (12):
Calcule o colchete:
Logo
Resposta
Portanto, para
uniforme discreta em
, temos: