Mostre que, se X é uma variável aleatória com distribuição equiprovável sobre os inteiros de 1 a n, então
E(X)=n+12
e
sigma^2=n^2-112
Dados: sumi=1^n i=n(n+1)2 e sumi=1^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma variável aleatória E(X)=sumi=1^n xi,P(X=xi) que vale cada inteiro de Var(X)=El((X-E(X))^2r)=E(X^2)-[E(X)]^2 a com a mesma chance (distribuição uniforme discreta). Precisamos mostrar que
  1. a esperança vale ,
  2. a variância vale .
Conteúdo e materiais:
  • Definição de esperança de variável discreta:
  • Definição de variância:
  • Fórmulas dadas:
    e

Passo 2

Calcular E(X)=sumi=1^n i;1n =1nsumi=1^n i =1ncdotn(n+1)2 =n+12 .
Como cada valor tem probabilidade ,
Aqui usamos a definição de esperança e a soma dos inteiros.

Passo 3

Calcular E(X^2)=sumi=1^n i^2;1n =1nsumi=1^n i^2 =1ncdotn(n+1)(2n+1)6 =(n+1)(2n+1)6 .
Isso usa a mesma ideia, mas somando .

Passo 4

Calcular a variância via Var(X) =(n+1)(2n+1)6 -l(n+12r)^2 .
Substituindo:
=2(n+1)(2n+1)12 -3(n+1)^212 =(n+1)l[2(2n+1)-3(n+1)r]12
Vamos pôr tudo sobre um denominador comum (12):
2(2n+1)-3(n+1)=4n+2-3n-3=n-1
Calcule o colchete:
Var(X) =(n+1)(n-1)12 =n^2-112
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Resposta

Portanto, para E(X)=n+12, sigma^2=Var(X)=n^2-112 uniforme discreta em , temos:

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