A v. a. tem distribuição de probabilidade dada por:

Determine a probabilidade da variável aleatória P(X=x)=l2^-x ; x=1,2,3, ldots 0 ; caso contrário . Calcule as seguintes probabilidades: V=X^4+1 e P(X>4) ; P(2.

Passo 1

Beleza, bora lá! A questão é de probabilidade discreta: a variável aleatória X toma valores inteiros positivos 1,2,3,… com
P(X=x)=2^-x
Definimos outra variável V = X⁴+1 e queremos calcular quatro probabilidades:

  1. O que vamos usar: soma de séries geométricas (para as “caudas” de X) e um pouco de lógica para traduzir as condições em valores de X ou V.

Passo 2

Calcular P(X>4)=sumx=5^infty2^-x .
“X>4” significa X=5,6,7,… Então
P(X>4)=(1/2)^51-tfrac12 =1/321/2 =116
Lembra que uma soma geométrica quando . Aqui e , então

Passo 3

Calcular P(2.
“2<X<6” tem X=3,4,5. Então

Passo 4

Calcular P(V<256)=sumx=1^32^-x =12+14+18 =78 com .
“V<256” vira . Os inteiros positivos que satisfazem são X=1,2,3 (porque já falha). Logo

Passo 5

Calcular P(V>63)=sumx=3^infty2^-x =(1/2)^31-tfrac12 =1/81/2 =14 .
“V>63” significa . Testando inteiros, o menor X é 3 ( ), então X=3,4,5,… e

Resposta

P(X>4)=1/16;
P(2<X<6)=7/32;
P(V<256)=7/8;
P(V>63)=1/4.

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