Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por P[X=x]=a x para x \in\{0,1,2,3,4,5\}, sendo a uma constante. Qual é o valor de P(X>2) ?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a variável aleatória discreta X tem função massa de probabilidade
P[X=x]=a x
para x\in\{0,1,2,3,4,5\}, onde a é uma constante desconhecida. A pergunta do problema é: calcular P(X>2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão geral do PMF é P[X=x]=a x.
  • O suporte (valores possíveis) de X é \{0,1,2,3,4,5\}.
  • Queremos a probabilidade do evento X>2, isto é, a soma das probabilidades para x=3,4,5.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar a constante a. Lembrete útil (teoria curta e prática): para qualquer variável aleatória discreta, a soma das probabilidades sobre todo o suporte deve ser 1. Em forma matemática:
\sum_{x=0}^{5} P[X=x]=1.
Substituindo P[X=x]=a x obtemos
\sum_{x=0}^{5} a x = 1.
Como a é constante, pode sair da soma:
a \sum_{x=0}^{5} x = 1.
Agora calculamos \sum_{x=0}^{5} x. Uma forma rápida é usar a fórmula da soma dos inteiros de 1 a n:
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
Aqui n=5, então
\sum_{x=0}^{5} x = 0+1+2+3+4+5 = \frac{5\cdot6}{2}=15.
Volta à equação com a:
a\cdot 15 = 1.
Logo
a = \frac{1}{15}.

Passo 3

Agora que sabemos a, calculamos P(X>2). Definição prática: P(X>2) é a soma das probabilidades dos valores maiores que 2, isto é x=3,4,5. Em fórmula:
P(X>2)=\sum_{x=3}^{5} P[X=x].
Substituindo P[X=x]=a x:
P(X>2)=\sum_{x=3}^{5} a x = a\sum_{x=3}^{5} x.
Calcule a soma dos x relevantes:
\sum_{x=3}^{5} x = 3+4+5 = 12.
Portanto
P(X>2)=a\cdot 12.

Passo 4

Substituindo o valor de a encontrado em um passo anterior:
P(X>2)=\frac{1}{15}\cdot 12 = \frac{12}{15}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 3):
\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.
Em forma decimal isso é \,0,8.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}

Exercícios relacionados