Seja
uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por
para
, sendo
uma constante. Qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a variável aleatória discreta
tem função massa de probabilidade
para
, onde
é uma constante desconhecida. A pergunta do problema é: calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão geral do PMF é
. - O suporte (valores possíveis) de
é . - Queremos a probabilidade do evento
, isto é, a soma das probabilidades para .
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar a constante
. Lembrete útil (teoria curta e prática): para qualquer variável aleatória discreta, a soma das probabilidades sobre todo o suporte deve ser
. Em forma matemática:
Substituindo
obtemos
Como
é constante, pode sair da soma:
Agora calculamos
. Uma forma rápida é usar a fórmula da soma dos inteiros de
a
:
Aqui
, então
Volta à equação com
:
Logo
Passo 3
Agora que sabemos
, calculamos
. Definição prática:
é a soma das probabilidades dos valores maiores que
, isto é
. Em fórmula:
Substituindo
:
Calcule a soma dos
relevantes:
Portanto
Passo 4
Substituindo o valor de
encontrado em um passo anterior:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Em forma decimal isso é
.