Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
f(x)=k x^{2} I_{[-1,1]}(x). Pede-se:
a. Determine o valor de k. (resp: k=3 / 2 )
b. Desenhe o gráfico de f(x).
c. Calcule P(|X|<1 / 2). (resp: 0.125 )
d. Encontre a função de distribuição acumulada.
e. Calcule a média e a variância de X. (rep:
E(X)=0 ; V(X)=0.6)

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que a questão pede e o que já foi dado):
\text{Temos a densidade } f(x)=k x^{2} I_{[-1,1]}(x).
As perguntas são:
a. Determinar o valor de \;k.
b. Desenhar o gráfico de f(x).
c. Calcular \;P(|X|<1/2).
d. Encontrar a função de distribuição acumulada F(x).
e. Calcular a média E(X) e a variância V(X).
Informações úteis extraídas do enunciado:
f(x)=\begin{cases} k x^{2}, & x\in[-1,1],\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Nada mais foi dado; vamos usar as propriedades básicas de densidade (normalização), integrais e simetria.]

Passo 2

Determinar k usando a condição de normalização de uma densidade: a integral da densidade em toda a reta deve ser 1. Escrevendo isso:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral reduz-se a
\int_{-1}^{1} k x^{2}\,dx = 1.
Calcule a integral:
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} = \frac{1-(-1)}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto
k \cdot \frac{2}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{3}{2}.

Passo 3

Descrever como é o gráfico de f(x) (instrução para desenhar):
  • Dentro de [-1,1] temos a função f(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}, que é uma parábola (função quadrática) com coeficiente positivo, simétrica em x=0.
  • Em x=0 o valor é f(0)=\dfrac{3}{2}\cdot 0^{2}=0 (mínimo da parábola).
  • Nos extremos x=\pm 1 o valor é f(\pm 1)=\dfrac{3}{2}.
  • Fora do intervalo [-1,1], f(x)=0.
    Como desenhar (passo a passo prático): marque o intervalo [-1,1] no eixo x, plote os pontos (-1,\tfrac{3}{2}), (0,0), (1,\tfrac{3}{2}) e ligue-os com a forma de uma parábola voltada para cima (apenas nesse intervalo). Fora dele deixe f(x)=0.

Passo 4

Calcular P(|X|<1/2). Interpretação:
P(|X|<1/2)=P\big(-\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{1}{2}\big)=\int_{-1/2}^{1/2} f(x)\,dx.
Usamos f(x)=\dfrac{3}{2}x^{2} no intervalo:
\int_{-1/2}^{1/2} \frac{3}{2}x^{2}\,dx = \frac{3}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1/2}^{1/2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}-\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}\right).
Calcule dentro:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}-\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}-\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Substituindo:
\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}.
Como decimal isto é \;0,125.
Observação prática (atalho): por simetria da densidade em 0 podia-se calcular 2\int_{0}^{1/2} f(x)\,dx com o mesmo resultado.

Passo 5

Encontrar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
Definição geral:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Temos três regiões a tratar:
  1. Se x<-1, então a integral até x contém apenas zeros, logo F(x)=0.
  2. Se -1\le x\le 1, então
F(x)=\int_{-1}^{x} k t^{2}\,dt = k\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{x} = k\left(\frac{x^{3}-(-1)^{3}}{3}\right) = k\left(\frac{x^{3}+1}{3}\right).
Substituindo k=\dfrac{3}{2} obtemos
F(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{x^{3}+1}{3}=\frac{x^{3}+1}{2}.
  1. Se x>1, toda a massa já foi acumulada, então F(x)=1.
Portanto a função distribuição é a função a seguir:
F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] \dfrac{x^{3}+1}{2}, & -1\le x\le 1,\\[6pt] 1, & x>1. \end{cases}]

Passo 6

Calcular a média E(X). Definição e cálculo:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x\cdot k x^{2}\,dx = k\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx.
A função x^{3} é ímpar (ou seja, x^{3}=-(-x)^{3}); a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0 \quad\Rightarrow\quad E(X)=k\cdot 0 = 0.

Passo 7

Calcular a variância V(X). Fórmula:
V(X)=E(X^{2}) - [E(X)]^{2}.
Já sabemos E(X)=0, então V(X)=E(X^{2}). Calcule E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{-1}^{1} x^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x^{2}\cdot k x^{2}\,dx = k\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx.
Calcule a integral:
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{5}-(-1)^{5}}{5} = \frac{1-(-1)}{5}=\frac{2}{5}.
Logo
E(X^{2}) = k\cdot\frac{2}{5} = \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{3}{5}.
Portanto
V(X)=\frac{3}{5} = 0,6.

Resposta

a. k=\dfrac{3}{2}\) b. \(f(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}\) para \(x\in[-1,1]\) e \(f(x)=0\) fora; é uma parábola simétrica com \(f(0)=0\) e \(f(\pm1)=\dfrac{3}{2}\). c. \(P(|X|<1/2)=\dfrac{1}{8}=0,125\) d. \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] \dfrac{x^{3}+1}{2}, & -1\le x\le 1,\\[6pt] 1, & x>1. \end{cases}
e. E(X)=0\] \(V(X)=\dfrac{3}{5}=0,6]

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