Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x)=k x^{2} I_{[-1,1]}(x). Pede-se:
a. Determine o valor de k. (resp: k=3 / 2 )
b. Desenhe o gráfico de f(x).
c. Calcule P(|X|<1 / 2). (resp: 0.125 )
d. Encontre a função de distribuição acumulada.
e. Calcule a média e a variância de X. (rep:
E(X)=0 ; V(X)=0.6)
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (o que a questão pede e o que já foi dado):
\text{Temos a densidade } f(x)=k x^{2} I_{[-1,1]}(x).
As perguntas são:
a. Determinar o valor de \;k.
b. Desenhar o gráfico de f(x).
c. Calcular \;P(|X|<1/2).
d. Encontrar a função de distribuição acumulada F(x).
e. Calcular a média E(X) e a variância V(X).
Informações úteis extraídas do enunciado:
f(x)=\begin{cases} k x^{2}, & x\in[-1,1],\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Nada mais foi dado; vamos usar as propriedades básicas de densidade (normalização), integrais e simetria.]
Passo 2
Determinar k usando a condição de normalização de uma densidade: a integral da densidade em toda a reta deve ser 1. Escrevendo isso:
k \cdot \frac{2}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{3}{2}.
Passo 3
Descrever como é o gráfico de f(x) (instrução para desenhar):
Dentro de [-1,1] temos a função f(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}, que é uma parábola (função quadrática) com coeficiente positivo, simétrica em x=0.
Em x=0 o valor é f(0)=\dfrac{3}{2}\cdot 0^{2}=0 (mínimo da parábola).
Nos extremos x=\pm 1 o valor é f(\pm 1)=\dfrac{3}{2}.
Fora do intervalo [-1,1], f(x)=0.
Como desenhar (passo a passo prático): marque o intervalo [-1,1] no eixo x, plote os pontos (-1,\tfrac{3}{2}), (0,0), (1,\tfrac{3}{2}) e ligue-os com a forma de uma parábola voltada para cima (apenas nesse intervalo). Fora dele deixe f(x)=0.
a. k=\dfrac{3}{2}\)
b. \(f(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}\) para \(x\in[-1,1]\) e \(f(x)=0\) fora; é uma parábola simétrica com \(f(0)=0\) e \(f(\pm1)=\dfrac{3}{2}\).
c. \(P(|X|<1/2)=\dfrac{1}{8}=0,125\)
d. \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] \dfrac{x^{3}+1}{2}, & -1\le x\le 1,\\[6pt] 1, & x>1. \end{cases}