Q7: Um time de futebol disputa um campeonato no qual os seus adversários sāo classificados como fortes, médios ou fracos, sendo que
deles são considerados fortes,
sāo considerados médios e
sāo considerados fracos. Sabe-se que a probabilidade do time vencer um adversário forte é de
, de vencer um adversário médio é de
e de vencer um adversário fraco é de
. Sabendo que o time venceu uma certa partida desse campeonato, usando o Teorema de Bayes, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado nos diz as classificações dos adversários e as probabilidades:
-
dos adversários são fortes. -
dos adversários são médios. -
dos adversários são fracos.
-
- As probabilidades de vencer dependendo do tipo de adversário:
- Probabilidade de vencer um adversário forte:
- Probabilidade de vencer um adversário médio:
- Probabilidade de vencer um adversário fraco:
- Probabilidade de vencer um adversário forte:
- O que é pedido:
- Sabendo que o time venceu uma partida, qual a probabilidade de que o adversário tenha sido fraco? Ou seja, calcular
.
- Sabendo que o time venceu uma partida, qual a probabilidade de que o adversário tenha sido fraco? Ou seja, calcular
Passo 2
Definir eventos e reescrever as probabilidades em notação matemática clara.
- Seja
o evento “adversário é fraco”, o evento “adversário é médio” e o evento “adversário é forte”. - Seja
o evento “time venceu a partida”. - As probabilidades a priori (peguei esses números do enunciado):
-
. -
. -
.
-
- As probabilidades condicionais de vencer (também do enunciado):
-
. -
. -
.
-
Passo 3
Apresentar o Teorema de Bayes e explicar cada termo (aulasão rápida).
O Teorema de Bayes relaciona a probabilidade posterior
com probabilidades condicionais e priors. A forma útil aqui é:
Explicando cada termo:
-
é o que queremos: probabilidade do adversário ser fraco dado que houve vitória. -
é a probabilidade de vencer quando o adversário é fraco (conhecida). -
é a probabilidade a priori de enfrentar um fraco (conhecida). -
é a probabilidade total de vencer qualquer partida — precisamos calcular isso usando a Lei da Probabilidade Total.
A Lei da Probabilidade Total diz que, se os eventos
,
,
formam uma partição (são mutuamente exclusivos e cobrem todos os casos), então
Vou calcular
a seguir.
Passo 4
Calcular
pela Lei da Probabilidade Total, substituindo os números que peguei do enunciado:
Agora calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Aplicar Bayes: calcular o numerador
e dividir por
.
- O numerador é
- Portanto
Passo 6
Fazer a divisão e converter para porcentagem (cálculo passo a passo).
- Dividindo:
- Em porcentagem, multiplicando por
:
Arredondando para duas casas decimais, isso dá
.
Resposta
(C)