Q7: Um time de futebol disputa um campeonato no qual os seus adversários sāo classificados como fortes, médios ou fracos, sendo que 10 \% deles são considerados fortes, 20 \% sāo considerados médios e 70 \% sāo considerados fracos. Sabe-se que a probabilidade do time vencer um adversário forte é de 10 \%, de vencer um adversário médio é de 60 \% e de vencer um adversário fraco é de 90 \%. Sabendo que o time venceu uma certa partida desse campeonato, usando o Teorema de Bayes, qual a probabilidade de que o adversário nessa partida tenha sido um time fraco?
(A) 62,89 \%
(B) 51,16 \%
(C) 82,89 \%
(D) 91,93 \%

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado nos diz as classificações dos adversários e as probabilidades:
    • 10\% dos adversários são fortes.
    • 20\% dos adversários são médios.
    • 70\% dos adversários são fracos.
  • As probabilidades de vencer dependendo do tipo de adversário:
    • Probabilidade de vencer um adversário forte: P(\text{ vencer } \mid \text{ forte }) = 10\%.
    • Probabilidade de vencer um adversário médio: P(\text{ vencer } \mid \text{ médio }) = 60\%.é
    • Probabilidade de vencer um adversário fraco: P(\text{ vencer } \mid \text{ fraco }) = 90\%.
  • O que é pedido:
    • Sabendo que o time venceu uma partida, qual a probabilidade de que o adversário tenha sido fraco? Ou seja, calcular P(\text{fraco} \mid \text{vencer}).

Passo 2

Definir eventos e reescrever as probabilidades em notação matemática clara.
  • Seja F o evento “adversário é fraco”, M o evento “adversário é médio” e S o evento “adversário é forte”.
  • Seja V o evento “time venceu a partida”.
  • As probabilidades a priori (peguei esses números do enunciado):
    • P(F)=0,70.
    • P(M)=0,20.
    • P(S)=0,10.
  • As probabilidades condicionais de vencer (também do enunciado):
    • P(V\mid F)=0,90.
    • P(V\mid M)=0,60.
    • P(V\mid S)=0,10.

Passo 3

Apresentar o Teorema de Bayes e explicar cada termo (aulasão rápida).
O Teorema de Bayes relaciona a probabilidade posterior P(F\mid V) com probabilidades condicionais e priors. A forma útil aqui é:
P(F\mid V)=\frac{P(V\mid F)\,P(F)}{P(V)}.
Explicando cada termo:
  • P(F\mid V) é o que queremos: probabilidade do adversário ser fraco dado que houve vitória.
  • P(V\mid F) é a probabilidade de vencer quando o adversário é fraco (conhecida).
  • P(F) é a probabilidade a priori de enfrentar um fraco (conhecida).
  • P(V) é a probabilidade total de vencer qualquer partida — precisamos calcular isso usando a Lei da Probabilidade Total.
A Lei da Probabilidade Total diz que, se os eventos S, M, F formam uma partição (são mutuamente exclusivos e cobrem todos os casos), então
P(V)=P(V\mid S)P(S)+P(V\mid M)P(M)+P(V\mid F)P(F).
Vou calcular P(V) a seguir.

Passo 4

Calcular P(V) pela Lei da Probabilidade Total, substituindo os números que peguei do enunciado:
P(V)=0,10\cdot0,10 + 0,60\cdot0,20 + 0,90\cdot0,70.
Agora calcule cada termo:
0,10\cdot0,10 = 0,01, \qquad 0,60\cdot0,20 = 0,12, \qquad 0,90\cdot0,70 = 0,63.
Somando:
P(V)=0,01+0,12+0,63=0,76.

Passo 5

Aplicar Bayes: calcular o numerador P(V\mid F)P(F) e dividir por P(V).
  • O numerador é
P(V\mid F)P(F)=0,90\cdot0,70=0,63.
  • Portanto
P(F\mid V)=\frac{0,63}{0,76}.

Passo 6

Fazer a divisão e converter para porcentagem (cálculo passo a passo).
  • Dividindo:
\frac{0,63}{0,76}\approx0,828947368\ldots
  • Em porcentagem, multiplicando por 100:
P(F\mid V)\approx82,8947368\%.
Arredondando para duas casas decimais, isso dá 82,89\%.

Resposta

(C) 82,89\%

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