Seja X uma variável aleatória com distribuição N(10,100), calcular:
\mathrm{P}(\mathrm{X}<15)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \mathrm{P}(\mathrm{X}<15).
Informações dadas: a variável aleatória \mathrm{X} tem distribuição normal com média 10 e variância 100. Em notação: \mathrm{X}\sim N(10,100).
Dados extraídos do enunciado: \mu=10 (média) e \sigma^{2}=100 (variância), daí \sigma=\sqrt{100}=10 (desvio padrão).

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): para calcular probabilidades de uma normal qualquer usamos a normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. Transformamos \mathrm{X} em uma variável padrão \mathrm{Z} através da padronização:
\mathrm{Z}=\frac{\mathrm{X}-\mu}{\sigma}.
Aqui \mathrm{Z} é a normal padrão, \mu é a média de \mathrm{X} e \sigma o desvio padrão de \mathrm{X}. Fazemos isso porque tabelas e funções de distribuição acumulada conhecidas (ou calculadoras) dão valores para \mathrm{P}(\mathrm{Z}<z).

Passo 3

Aplicando a fórmula de padronização ao ponto x=15. Substituímos \mu=10 e \sigma=10:
z=\frac{15-10}{10}.
Agora calculamos:
z=\frac{5}{10}=0,5.

Passo 4

Relação entre probabilidades: como \mathrm{Z}=(\mathrm{X}-\mu)/\sigma, vale
\mathrm{P}(\mathrm{X}<15)=\mathrm{P}\!\left(\frac{\mathrm{X}-\mu}{\sigma}<\frac{15-\mu}{\sigma}\right)=\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,5).
Ou seja, precisamos do valor da função de distribuição acumulada da normal padrão em z=0,5.

Passo 5

Como encontrar \mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,5): podemos usar uma tabela da normal padrão (tabela \Phi), uma calculadora estatística ou software. Em uma tabela comum, procura-se a linha 0,5 (ou 0,50) que fornece
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,5)=0,6915\\ (\text{valor de tabela}).
Explicando rapidamente a intuição: \Phi(0)=0,5 sempre; para z>0 a probabilidade é maior que 0,5; para z=0,5 a tabela dá aproximadamente 0,6915.

Passo 6

Interpretação final: \mathrm{P}(\mathrm{X}<15)=\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,5)=0,6915. Portanto, cerca de 69{,}15\% das observações de \mathrm{X} estão abaixo de 15.

Resposta

0,6915

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