Seja X uma variável aleatória com distribuição Binomial( 4,0.25 ) onde n=4 e p=0.25 com função de probabilidade dada por: ( 2,5 pontos)
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}+k=0,1,2, \ldots, n .
Calcule:
P(1 \leq X<3)

Passo 1

O enunciado define X como uma variável aleatória com distribuição Binomial de parâmetros n=4 e p=0,25. A função de probabilidade é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,3,4.
Queremos calcular
P(1\le X<3).

Passo 2

Como X assume valores inteiros, o evento \{1\le X<3\} equivale à união disjunta de \{X=1\} e \{X=2\}. Logo,
P(1\le X<3)=P(X=1)+P(X=2).

Passo 3

Aplicando a fórmula da binomial:
P(X=1)=\binom{4}{1}(0,25)^{1}(0,75)^{3} =4\cdot0,25\cdot0,75^{3} =4\cdot0,25\cdot0,421875 =0,421875,
P(X=2)=\binom{4}{2}(0,25)^{2}(0,75)^{2} =6\cdot0,0625\cdot0,5625 =6\cdot0,03515625 =0,2109375.

Passo 4

Somando as duas probabilidades:
P(1\le X<3)=0,421875+0,2109375=0,6328125.

Resposta

P(1\le X<3)=0,6328125.

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