Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja, X \sim N(64,16), calcule:
P(X \leq 71)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição Normal, média 64 e variância 16. Ou seja:
X \sim N(64,16).
O que se pede é a probabilidade
P(X \leq 71).

Passo 2

Vamos organizar as informações que temos:
  • A média (esperança) é \mu = 64.
  • A variância é \sigma^{2} = 16.
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, isto é \sigma = \sqrt{16}.
  • Queremos a função de distribuição acumulada (CDF) em x=71: P(X\le 71).

Passo 3

Explicando a ideia: para uma Normal qualquer N(\mu,\sigma^{2}) não existe uma fórmula elementar simples para a CDF, então padronizamos (transformamos) a variável para a Normal padrão Z\sim N(0,1), cuja tabela ou função \Phi conhecemos. A padronização é feita por:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde
  • X é a variável original,
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z é a nova variável com média 0 e desvio padrão 1.
Depois da padronização, as probabilidades transformam-se assim:
P(X\le x)=P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a CDF da Normal padrão.

Passo 4

Calculemos o desvio padrão e o valor z correspondente a x=71.
O desvio padrão é
\sigma=\sqrt{16}=4.
Agora padronizamos:
z=\frac{71-64}{4}=\frac{7}{4}=1,75.

Passo 5

Então
P(X\le 71)=P\bigl(Z\le 1,75\bigr)=\Phi(1,75).
Para obter \Phi(1,75) usamos a tabela da Normal padrão ou uma calculadora estatística. Nas tabelas usuais a entrada 1,75 é lida encontrando a linha 1,7 e a coluna 0,05, que dá o valor acumulado até 1,75.

Passo 6

Lendo a tabela (ou usando calculadora), obtemos
\Phi(1,75)\approx 0,9599.
Isto significa que a probabilidade de X ser menor ou igual a 71 é aproximadamente 95{,}99\%. O valor foi arredondado para quatro casas decimais; a precisão típica de tabela costuma dar 0,9599.

Resposta

0,9599

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