Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja,
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição Normal, média
e variância
. Ou seja:
O que se pede é a probabilidade
Passo 2
Vamos organizar as informações que temos:
- A média (esperança) é
. - A variância é
. - O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, isto é
. - Queremos a função de distribuição acumulada (CDF) em
: .
Passo 3
Explicando a ideia: para uma Normal qualquer
não existe uma fórmula elementar simples para a CDF, então padronizamos (transformamos) a variável para a Normal padrão
, cuja tabela ou função
conhecemos. A padronização é feita por:
onde
-
é a variável original, -
é a média, -
é o desvio padrão, -
é a nova variável com média e desvio padrão .
Depois da padronização, as probabilidades transformam-se assim:
onde
é a CDF da Normal padrão.
Passo 4
Calculemos o desvio padrão e o valor
correspondente a
.
O desvio padrão é
O desvio padrão é
Agora padronizamos:
Passo 5
Então
Para obter
usamos a tabela da Normal padrão ou uma calculadora estatística. Nas tabelas usuais a entrada
é lida encontrando a linha
e a coluna
, que dá o valor acumulado até
.
Passo 6
Lendo a tabela (ou usando calculadora), obtemos
Isto significa que a probabilidade de
ser menor ou igual a
é aproximadamente
. O valor foi arredondado para quatro casas decimais; a precisão típica de tabela costuma dar
.