15. Uma variável aleatória discreta [X) tem a seguinte fdp:

f_{X}(x)= \begin{cases}k x, & x=0,1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
(a) Determine o valor de k\] para que \(f_{X}(x) seja uma fdp.
(b) Calcule a função de distribuição F_{X}(x).
(c) Calcule a esperança e a variância de X.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X\) com função de probabilidade \[f_{X}(x)= \begin{cases} k x, & x=0,1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
  1. (a) Determine o valor de k\] para que \(f_{X}(x) seja uma fdp (isto é, uma distribuição de probabilidade válida).
  2. (b) Calcule a função de distribuição acumulada F_{X}(x).
  3. (c) Calcule a esperança E[X] e a variância \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O suporte (valores possíveis) de X é \{0,1\}.
  • A probabilidade em cada ponto é dada por f_{X}(x)=k x nesses pontos.
  • Não há probabilidade fora de \{0,1\} (lá vale 0).]

Passo 2

Conceito necessário para (a): para que f_{X} seja uma fdp válida é preciso que (i) f_{X}(x)\ge 0 para todo x e (ii) a soma das probabilidades no suporte seja 1. Escrevendo a soma das probabilidades sobre os pontos possíveis:
\sum_{x\in\{0,1\}} f_{X}(x)=1.
Agora aplicamos a fórmula dada pelo enunciado para cada ponto do suporte:
f_{X}(0)=k\cdot 0,\qquad f_{X}(1)=k\cdot 1.
Somando:
k\cdot 0 + k\cdot 1 = 1.
Logo,
k = 1.
Comentário amigo: aqui não tem mistério — só usamos que as probabilidades devem somar 1. Também checamos que com k=1 todas as probabilidades são não negativas (ok).

Passo 3

Agora vamos construir a função de distribuição acumulada F_{X}(x)=P(X\le x). Definição prática para variáveis discretas: F_{X}(x) é a soma das probabilidades dos pontos do suporte menores ou iguais a x:
F_{X}(x)=\sum_{t: t\le x} f_{X}(t).
Como o suporte é \{0,1\}, precisamos considerar os intervalos relativos a esses pontos. Lembre-se que já encontramos k=1, então f_{X}(0)=0 e f_{X}(1)=1.
  • Se x<0: não há t\in\{0,1\} com t\le x, então
F_{X}(x)=0.
  • Se 0\le x<1: os pontos t\le x no suporte são apenas t=0. Assim
F_{X}(x)=f_{X}(0)=1\cdot 0 = 0.
(Nesse caso a CDF ainda é 0 porque P(X=0)=0.)
  • Se x\ge 1: os pontos t\le x são t=0 e t=1. Então
F_{X}(x)=f_{X}(0)+f_{X}(1)=0+1=1.
Portanto F_{X}(x) é uma função degrau que só salta em x=1, passando de 0 para 1.

Passo 4

Conceito para (c) — esperança: para variável discreta a esperança (valor esperado) é
E[X]=\sum_{x} x\, f_{X}(x),
a soma sendo sobre todo o suporte. Aplicando ao nosso caso (com k=1 e suporte \{0,1\}):
E[X]=0\cdot f_{X}(0) + 1\cdot f_{X}(1)=0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
Interpretação amigável: a variável tem probabilidade 1 de ser 1 (porque f_{X}(1)=1 e f_{X}(0)=0), então o valor médio é 1.

Passo 5

Conceito para variância: uma forma prática é usar
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] - \big(E[X]\big)^{2},
onde
E[X^{2}]=\sum_{x} x^{2} f_{X}(x).
Calcule E[X^{2}] no nosso caso:
E[X^{2}]=0^{2}\cdot f_{X}(0) + 1^{2}\cdot f_{X}(1)=0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=1 - (1)^{2} = 1 - 1 = 0.
Interpretação: variância zero significa que X é quase certamente constante (aqui X=1 com probabilidade 1).

Resposta

(a) k=1\).\n (b) \(F_{X}(x)=\begin{cases}0, & x<0,\\[4pt]0, & 0\le x<1,\\[4pt]1, & x\ge 1,\end{cases}\n
(c) E[X]=1 \n
\operatorname{Var}(X)=0]

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