Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja, X \sim N(64,16), calcule:
P(X \geq 74)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a probabilidade P(X \geq 74) sabendo que X é uma variável aleatória com distribuição Normal e que foram dadas as informações seguintes:
X \sim N(64,16).
Lista dos dados fornecidos:
\text{média: }\mu=64,é
\text{variância: }\sigma^{2}=16.â
A pergunta é apenas uma: calcular P(X\geq74).

Passo 2

Calculemos o desvio-padrão \sigma, que é a raiz quadrada da variância. Isso é importante porque a normal padrão usa desvio-padrão 1.
\sigma=\sqrt{16}=4.

Passo 3

Vamos transformar (padronizar) X numa variável normal padrão Z, que tem média 0 e variância 1. A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média da distribuição de X e \sigma é o desvio-padrão. Aqui \mu=64 e \sigma=4. A ideia é que probabilidades de X se transformam em probabilidades de Z, que consultamos em tabelas ou calculadora da normal padrão.

Passo 4

Aplicamos a padronização ao ponto x=74:
z=\frac{74-64}{4}=\frac{10}{4}=2,5.

Passo 5

A probabilidade pedida em termos de Z fica:
P(X\geq74)=P\!\left(Z\geq2,5\right).
Isto é, queremos a área da cauda à direita de 2,5 da normal padrão.

Passo 6

Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z), que dá P(Z\leq z). Pela relação entre cauda direita e \Phi,
P(Z\geq z)=1-\Phi(z).
Logo
P\!\left(Z\geq2,5\right)=1-\Phi(2,5).

Passo 7

Buscando em tabela da normal padrão ou usando calculadora, temos a aproximação
\Phi(2,5)\approx 0,9938.
Portanto
P(X\geq74)=1-0,9938=0,0062.

Passo 8

Interpretação rápida e ânimo: a probabilidade de X ser pelo menos 74 é muito pequena — cerca de 0,62\%. Isso faz sentido porque 74 está 2{,}5 desvios-padrão acima da média, que é uma região bem improvável numa normal.

Resposta

P(X\geq74)\approx 0,0062

Exercícios relacionados