Suponha que o tempo de reação X de um indivíduo selecionado aleatoriamente a um certo estímulo possui uma distribuição Gama de parâmetros
segundos e
. Calcule o tempo médio de reação.
Passo 1
O enunciado diz que a variável aleatória
(tempo de reação de um indivíduo) tem distribuição Gama com parâmetros
e
. A pergunta é: calcular o tempo médio de reação, ou seja, encontrar
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede:
Passo 2
Antes de calcular, vamos esclarecer como interpretar os parâmetros
e
. Há duas parametrizações comuns da Gama:
No enunciado foi indicado
e apareceu a unidade “segundos” associada aos parâmetros; isso é consistente com a parametrização forma-escala, onde
tem unidade de tempo (segundos). Por isso vou usar a parametrização forma-escala, que é a mais comum em muitos cursos:
é adimensional (forma) e
tem a unidade do tempo (escala).
Passo 3
Escrevendo a função densidade de probabilidade (pdf) da Gama na parametrização forma-escala:
onde
é a função Gama de Euler, definida por
Uma propriedade importante da função Gama é
Passo 4
Agora a fórmula do valor esperado (média) para
nessa parametrização é
Substituindo a pdf:
Façamos a mudança de variável
, então
e
. A integral fica:
Voltando para
:
Usando
obtemos
Portanto, na parametrização forma-escala:
Passo 5
Agora basta substituir os valores numéricos fornecidos:
e
. Assim
Como
tinha unidade de segundos, a média tem unidade de segundos.