Suponha que o tempo de reação X de um indivíduo selecionado aleatoriamente a um certo estímulo possui uma distribuição Gama de parâmetros \alpha=2 segundos e \beta=2. Calcule o tempo médio de reação.

Passo 1

O enunciado diz que a variável aleatória X (tempo de reação de um indivíduo) tem distribuição Gama com parâmetros \alpha=2 e \beta=2. A pergunta é: calcular o tempo médio de reação, ou seja, encontrar \mathbb{E}[X].
Informações dadas:
X \sim \text{Gama}(\alpha=2,\;\beta=2).
O que se pede:
\text{Calcular }\mathbb{E}[X].

Passo 2

Antes de calcular, vamos esclarecer como interpretar os parâmetros \alpha e \beta. Há duas parametrizações comuns da Gama:
\text{(a) parametrização forma-escala: } \alpha=\text{forma},\\ \beta=\text{escala (unidade: tempo)}.çã
\text{(b) parametrização forma-taxa: } \alpha=\text{forma},\\ \lambda=\text{taxa}=\frac{1}{\beta}.çã
No enunciado foi indicado \beta=2 e apareceu a unidade “segundos” associada aos parâmetros; isso é consistente com a parametrização forma-escala, onde \beta tem unidade de tempo (segundos). Por isso vou usar a parametrização forma-escala, que é a mais comum em muitos cursos: \alpha é adimensional (forma) e \beta tem a unidade do tempo (escala).

Passo 3

Escrevendo a função densidade de probabilidade (pdf) da Gama na parametrização forma-escala:
f_X(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\beta},\qquad x>0,
onde \Gamma(\alpha) é a função Gama de Euler, definida por
\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt.
Uma propriedade importante da função Gama é
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha).

Passo 4

Agora a fórmula do valor esperado (média) para X nessa parametrização é
\mathbb{E}[X]=\int_0^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Substituindo a pdf:
\mathbb{E}[X]=\int_0^{\infty} x\cdot\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\,dx =\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}}\int_0^{\infty} x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx.
Façamos a mudança de variável t=\dfrac{x}{\beta}, então x=\beta t e dx=\beta\,dt. A integral fica:
\int_0^{\infty} x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx =\int_0^{\infty} (\beta t)^{\alpha} e^{-t}\,\beta\,dt =\beta^{\alpha+1}\int_0^{\infty} t^{\alpha} e^{-t}\,dt =\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1).
Voltando para \mathbb{E}[X]:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}}\cdot \beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1) =\beta\cdot\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}.
Usando \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha) obtemos
\mathbb{E}[X]=\beta\cdot\frac{\alpha\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}=\alpha\beta.
Portanto, na parametrização forma-escala:
\mathbb{E}[X]=\alpha\beta.

Passo 5

Agora basta substituir os valores numéricos fornecidos: \alpha=2 e \beta=2. Assim
\mathbb{E}[X]=\alpha\beta=2\cdot 2=4.
Como \beta tinha unidade de segundos, a média tem unidade de segundos.

Resposta

\;4\\ \text{segundos}

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