1. Seja X uma variável aleatória com distribuição Paisson(5) onde \lambda=5 com função de probabilidade dada por: (2,5 pontos)
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}, \quad k=0,1,2,3,4, \ldots
Calcule:
a) P(X=1)
b) P(X \geq 2)
c) P(\{X<8\} \cap\{X é um número primo \})
d) E[2 X-1]
e) \operatorname{Var}[X+5]

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição \mathrm{Poisson}(\lambda=5), ou seja, sua função de probabilidade é
P(X=k)=\frac{e^{-5}5^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots
Vamos usar essa fórmula para calcular probabilidades e as propriedades de esperança e variância da distribuição de Poisson.

Passo 2

Para calcular P(X=1) basta aplicar a definição do pmf com k=1:
P(X=1) =\frac{e^{-5}5^{1}}{1!} =5e^{-5}.

Passo 3

Para P(X\ge2) usamos a complementaridade:
P(X\ge2) =1-P(X<2) =1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Sabendo que
\;P(X=0)=\dfrac{e^{-5}5^{0}}{0!}=e^{-5}
e
\;P(X=1)=5e^{-5},
temos
P(X\ge2) =1-\bigl(e^{-5}+5e^{-5}\bigr) =1-6e^{-5}.

Passo 4

O evento \{X<8\}\cap\{X\text{ é primo}\}é corresponde a X\in\{2,3,5,7\}. Logo,
P(\{X<8\}\cap\{X\text{ é primo}\}) =\sum_{k\in\{2,3,5,7\}}\frac{e^{-5}5^{k}}{k!}.é

Passo 5

Para calcular E[2X-1], usamos a linearidade da esperança:
E[2X-1] =2E[X]-1.
Como para Poisson vale E[X]=\lambda=5, resulta
E[2X-1] =2\cdot5-1 =10-1 =9.

Passo 6

Para \operatorname{Var}[X+5], lembramos que a variância não muda quando somamos constante:
\operatorname{Var}[X+5] =\operatorname{Var}[X].
E para Poisson temos \operatorname{Var}[X]=\lambda=5. Logo,
\operatorname{Var}[X+5]=5.

Resposta

a) P(X=1)=5e^{-5}.
b) P(X\ge2)=1-6e^{-5}.
c) P(\{X<8\}\cap\{X\text{ é primo}\}) =\sum_{k\in\{2,3,5,7\}}\frac{e^{-5}5^{k}}{k!}.é
d) E[2X-1]=9.
e) \operatorname{Var}[X+5]=5.

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