( \mathbf{3 , 0} pontos) Uma empresa de eletrônicos utiliza para a fabricaçāo de seu produto, dois componentes denominados A e B produzidos independentemente por una outra empresa. Caso ambos os componente A e B nāo apresentem defeito, seu produto final funciona corretamente, caso o contrário, se um ou mais componentes apresentar defeito seu produto final também apresentará defeito. Considere que a probabilidade dos componentes A e B serem produzidos com defeitos é de 0.6 e 0.5 , respectivamente. Suponha que sejam produzidos 5 produtos independentemente. Seja Y o número de produtos finais que apresentaram defeitos, responda:
(a) Determine a distribuiçāo de Y.
(b) Calcule a probabilidade de 2 (dois) ou mais produtos estarem com defeito.
(c) Determine o número esperado de produtos defeituosos e nāo defeituosos.

Passo 1

O enunciado diz que cada produto final falha se pelo menos um dos componentes A ou B for defeituoso. Sabemos que P(A\text{ defeito})=0,6 e P(B\text{ defeito})=0,5, e há 5 produtos independentes. Denotamos por Y o número de produtos finais com defeito. Como cada produto é resultado de um teste binário (defeito ou não), vamos modelar Y como soma de variáveis de Bernoulli.

Passo 2

Calcular a probabilidade de um único produto ser defeituoso. Como ele falha quando A ou B falha,
P(\text{produto defeituoso}) =1 - P(A\text{ bom e }B\text{ bom}) =1 - \bigl((1-0,6)\,(1-0,5)\bigr) =1 - (0,4\cdot0,5) =0,8.

Passo 3

Os 5 produtos são independentes e cada um tem probabilidade 0,8 de defeito, logo
Y \sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=5,\;p=0,8\bigr),
isto é, para y=0,1,2,3,4,5,
P(Y=y) =\binom{5}{y}(0,8)^{y}(0,2)^{5-y}.

Passo 4

Queremos P(Y\ge2). Usamos o complemento:
P(Y\ge2) =1 - \bigl[P(Y=0)+P(Y=1)\bigr].
Calculando
P(Y=0)=(0,2)^5=0,00032, \quad P(Y=1)=5\cdot0,8\cdot(0,2)^4=0,0064,
então
P(Y\ge2)=1 - (0,00032+0,0064)=0,99328.

Passo 5

A esperança de uma binomial é E(Y)=n\,p. Assim,
E(Y)=5\cdot0,8=4.
O número esperado de produtos não defeituosos é E(5-Y)=5-4=1 ou diretamente 5\cdot(1-0,8)=1.

Resposta

(a) Y\sim \mathrm{Binomial}(5,0,8), isto é,
P(Y=y)=\binom{5}{y}(0,8)^{y}(0,2)^{5-y},\quad y=0,1,2,3,4,5.
(b) P(Y\ge2)=0,99328.
(c) E(\text{defeituosos})=4 e E(\text{não defeituosos})=1.ã

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