Seja X\) uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por
\[f(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ k x, & 0 \leq x \leq 1 / 2 \\\ k(1-x), & 1 / 2<x<1 \\\\ 0, & x \geq 1\end{cases}
Pede-se:
a. Determine o valor de k\]. (resp: \(k=4 )
b. Desenhe os gráficos de f(x) e F(x).
c. Calcule P(|X|>1 / 4). (resp: 0.875 )
d. Encontre a função de distribuição acumulada.
e. Calcule a média e a variância de X. (rep:
E(X)=0.5 ; V(X)=0.0416667)
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade f(x)\) dada por
\[f(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ k x, & 0 \leq x \leq 1 / 2 \\\ k(1-x), & 1 / 2<x<1 \\\\ 0, & x \geq 1\end{cases}
e pede as seguintes coisas:
a. Determinar o valor de k\].
b. Desenhar os gráficos de \(f(x) e F(x).
c. Calcular P(|X|>1/4).
d. Encontrar a função de distribuição acumulada F(x).
e. Calcular a média e a variância de X.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função densidade é nula fora do intervalo [0,1].
Em [0,1/2] temos f(x)=k x.
Em (1/2,1) temos f(x)=k(1-x).
A constante k deve ser tal que f seja uma densidade (área total igual a 1).
Passo 2
Determinar k usando a condição de normalização da densidade (a área total sob f vale 1). A condição é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f é nula fora de [0,1], essa integral reduz-se a duas integrais:
Descrever como são os gráficos de f(x) e de F(x) (instruções para desenhar e valores chave). Vou usar o valor k=4 encontrado.
Gráfico de f(x):
Em (-\infty,0) e em [1,\infty) a densidade é zero.
Em [0,1/2] temos f(x)=4x: é uma reta com inclinação positiva que parte de (0,0) e chega em x=1/2 ao valor f(1/2)=4\cdot\frac{1}{2}=2. Então o ponto (1/2,2) é o pico.
Em (1/2,1) temos f(x)=4(1-x): é uma reta decrescente que em x=1/2 tem valor 2 e em x=1 vale 0.
Portanto o gráfico de f é um triângulo simétrico em torno de x=1/2, base em [0,1] e altura 2 no meio.
Gráfico de F(x) (função de distribuição acumulada) — descrição qualitativa:
Para x<0, F(x)=0.
Para 0\le x\le 1/2, F(x) cresce com curvatura (é uma parábola) porque é integral de 4x; começa em F(0)=0 e atinge F(1/2)=1/2.
Para 1/2<x<1, F(x) continua crescendo, mas agora com outra expressão quadrática (decrescente na derivada), e atinge F(1)=1.
Para x\ge1, F(x)=1.
Se for desenhar no papel: primeiro desenhe o triângulo para f. Para F, integre visualmente: em [0,1/2] uma curva quadrática suave subindo até 1/2, depois em [1/2,1] outra curva que sobe até 1. A derivada de F em cada ponto coincide com f.
Passo 4
Encontrar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x) de forma explícita, usando k=4. Calculo em cada região.
Em x=1/2: \frac{(1/2)^{3}}{3} - \frac{(1/2)^{4}}{4} = \frac{1/24} - \frac{1}{64} = \frac{8-3}{192} = \frac{5}{192}.
Logo a integral é \frac{1}{12} - \frac{5}{192} = \frac{16-5}{192} = \frac{11}{192}.
a. k=4\)
b. Gráfico de \(f(x)\): triângulo em \([0,1]\) com \(f(x)=4x\) em \([0,1/2]\), pico em \((1/2,2)\), e \(f(x)=4(1-x)\) em \((1/2,1)\); fora de \([0,1]\) vale \(0\).
Gráfico de \(F(x)\): \(F(x)=0\) para \(x<0\), cresce como \(2x^{2}\) em \([0,1/2]\) até \(1/2\), depois cresce segundo \(4x-2x^{2}-1\) em \((1/2,1)\) até \(1\), e fica \(1\) para \(x\ge1\).
c. \(P(|X|>1/4)=\dfrac{7}{8}=0{,}875\)
d. \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le 1/2,\\[4pt] 4x - 2x^{2} - 1, & 1/2<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1, \end{cases}
e. E(X)=\dfrac{1}{2}\] ; \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{24}\approx 0{,}0416667]