Seja X\) uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por \[f(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ k x, & 0 \leq x \leq 1 / 2 \\\ k(1-x), & 1 / 2<x<1 \\\\ 0, & x \geq 1\end{cases}
Pede-se:
a. Determine o valor de k\]. (resp: \(k=4 )
b. Desenhe os gráficos de f(x) e F(x).
c. Calcule P(|X|>1 / 4). (resp: 0.875 )
d. Encontre a função de distribuição acumulada.
e. Calcule a média e a variância de X. (rep:
E(X)=0.5 ; V(X)=0.0416667)

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade f(x)\) dada por \[f(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ k x, & 0 \leq x \leq 1 / 2 \\\ k(1-x), & 1 / 2<x<1 \\\\ 0, & x \geq 1\end{cases}
e pede as seguintes coisas:
a. Determinar o valor de k\]. b. Desenhar os gráficos de \(f(x) e F(x).
c. Calcular P(|X|>1/4).
d. Encontrar a função de distribuição acumulada F(x).
e. Calcular a média e a variância de X.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função densidade é nula fora do intervalo [0,1].
  • Em [0,1/2] temos f(x)=k x.
  • Em (1/2,1) temos f(x)=k(1-x).
  • A constante k deve ser tal que f seja uma densidade (área total igual a 1).

Passo 2

Determinar k usando a condição de normalização da densidade (a área total sob f vale 1). A condição é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f é nula fora de [0,1], essa integral reduz-se a duas integrais:
\int_{0}^{1/2} kx\,dx + \int_{1/2}^{1} k(1-x)\,dx = 1.
Vou calcular cada integral separadamente.
Calcule a primeira integral:
\int_{0}^{1/2} kx\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = k\cdot\frac{(1/2)^{2}}{2} = k\cdot\frac{1/4}{2} = k\cdot\frac{1}{8}.
Calcule a segunda integral:
\int_{1/2}^{1} k(1-x)\,dx = k\left[ x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{1/2}^{1}.
Avalio a primitiva nos limites:
\left(x - \frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_{1/2}^{1} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}.
Logo a segunda integral é também k\cdot\frac{1}{8}.
Somando as duas parcelas:
k\cdot\frac{1}{8} + k\cdot\frac{1}{8} = k\cdot\frac{1}{4} = 1.
Resolvendo para k:
k = 4.

Passo 3

Descrever como são os gráficos de f(x) e de F(x) (instruções para desenhar e valores chave). Vou usar o valor k=4 encontrado.
Gráfico de f(x):
  • Em (-\infty,0) e em [1,\infty) a densidade é zero.
  • Em [0,1/2] temos f(x)=4x: é uma reta com inclinação positiva que parte de (0,0) e chega em x=1/2 ao valor f(1/2)=4\cdot\frac{1}{2}=2. Então o ponto (1/2,2) é o pico.
  • Em (1/2,1) temos f(x)=4(1-x): é uma reta decrescente que em x=1/2 tem valor 2 e em x=1 vale 0.
  • Portanto o gráfico de f é um triângulo simétrico em torno de x=1/2, base em [0,1] e altura 2 no meio.
Gráfico de F(x) (função de distribuição acumulada) — descrição qualitativa:
  • Para x<0, F(x)=0.
  • Para 0\le x\le 1/2, F(x) cresce com curvatura (é uma parábola) porque é integral de 4x; começa em F(0)=0 e atinge F(1/2)=1/2.
  • Para 1/2<x<1, F(x) continua crescendo, mas agora com outra expressão quadrática (decrescente na derivada), e atinge F(1)=1.
  • Para x\ge1, F(x)=1.
Se for desenhar no papel: primeiro desenhe o triângulo para f. Para F, integre visualmente: em [0,1/2] uma curva quadrática suave subindo até 1/2, depois em [1/2,1] outra curva que sobe até 1. A derivada de F em cada ponto coincide com f.

Passo 4

Encontrar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x) de forma explícita, usando k=4. Calculo em cada região.
  1. Para x<0:
F(x)=0.
  1. Para 0\le x\le 1/2: integrar f de 0 até x:
F(x)=\int_{0}^{x} 4t\,dt = 4\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = 4\cdot\frac{x^{2}}{2} = 2x^{2}.
  1. Para 1/2<x<1: acumule a área até 1/2 mais a área de 1/2 até x:
F(x)=\int_{0}^{1/2} 4t\,dt + \int_{1/2}^{x} 4(1-t)\,dt.
Já sabemos \int_{0}^{1/2} 4t\,dt = \tfrac{1}{2} (ou seja F(1/2)=1/2). Calculo a segunda:
\int_{1/2}^{x} 4(1-t)\,dt = 4\left[ t - \frac{t^{2}}{2} \right]_{1/2}^{x} = 4\left( x - \frac{x^{2}}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)\right).
O termo entre parênteses no final é x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{8}. Somando a primeira metade 1/2 (que é 4\cdot\frac{1}{8}) obtemos
F(x) = \frac{1}{2} + 4\left( x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{8} \right).
Simplifico:
F(x) = \frac{1}{2} + 4x -2x^{2} - \frac{3}{2} = 4x -2x^{2} -1.
Verificação rápida: em x=1/2 4\cdot\frac{1}{2} - 2\cdot\frac{1}{4} -1 = 2 - \tfrac{1}{2} -1 = \tfrac{1}{2}. Em x=1 4-2-1=1. Está consistente.
  1. Para x\ge 1:
F(x)=1.
Portanto, a F(x) completa é
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le 1/2,\\[4pt] 4x - 2x^{2} - 1, & 1/2<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}]

Passo 5

Calcular P(|X|>1/4). Observação importante: a variável X tem suporte [0,1], então |X|=X. Assim
P(|X|>1/4) = P(X>1/4) = 1 - P(X\le 1/4) = 1 - F(1/4).
Usando a expressão de F para 0\le x\le 1/2, temos F(1/4)=2(1/4)^{2}=2\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{8}. Logo
P(|X|>1/4)=1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875.

Passo 6

Calcular a esperança E(X). A definição para variável contínua é
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Como f é nula fora de [0,1], escrevo
E(X) = \int_{0}^{1/2} x\cdot 4x\,dx + \int_{1/2}^{1} x\cdot 4(1-x)\,dx = 4\left(\int_{0}^{1/2} x^{2}\,dx + \int_{1/2}^{1} (x - x^{2})\,dx\right).
Calculo cada integral:
\int_{0}^{1/2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2} = \frac{(1/2)^{3}}{3} = \frac{1/8}{3} = \frac{1}{24}.
\int_{1/2}^{1} (x - x^{2})\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{1/2}^{1} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{24}\right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}.
Somando:
\int_{0}^{1/2} x^{2}\,dx + \int_{1/2}^{1} (x - x^{2})\,dx = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}.
Multiplicando por 4:
E(X) = 4\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{2}.

Passo 7

Calcular E(X^{2}) e a variância V(X)=\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Primeiro E(X^{2}):
E(X^{2}) = \int_{0}^{1/2} x^{2}\cdot 4x\,dx + \int_{1/2}^{1} x^{2}\cdot 4(1-x)\,dx = 4\left(\int_{0}^{1/2} x^{3}\,dx + \int_{1/2}^{1} (x^{2}-x^{3})\,dx\right).
Calcule as integrais:
\int_{0}^{1/2} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1/2} = \frac{(1/2)^{4}}{4} = \frac{1/16}{4} = \frac{1}{64}.
\int_{1/2}^{1} (x^{2}-x^{3})\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}\right]_{1/2}^{1}.
Avalio nos limites:
  • Em x=1: \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
  • Em x=1/2: \frac{(1/2)^{3}}{3} - \frac{(1/2)^{4}}{4} = \frac{1/24} - \frac{1}{64} = \frac{8-3}{192} = \frac{5}{192}.
    Logo a integral é \frac{1}{12} - \frac{5}{192} = \frac{16-5}{192} = \frac{11}{192}.
Some:
\int_{0}^{1/2} x^{3}\,dx + \int_{1/2}^{1} (x^{2}-x^{3})\,dx = \frac{1}{64} + \frac{11}{192} = \frac{3}{192} + \frac{11}{192} = \frac{14}{192} = \frac{7}{96}.
Multiplicando por 4:
E(X^{2}) = 4\cdot\frac{7}{96} = \frac{28}{96} = \frac{7}{24} \approx 0{,}2916667.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2} = \frac{7}{24} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{7}{24} - \frac{1}{4} = \frac{7}{24} - \frac{6}{24} = \frac{1}{24} \approx 0{,}0416667.

Resposta

a. k=4\) b. Gráfico de \(f(x)\): triângulo em \([0,1]\) com \(f(x)=4x\) em \([0,1/2]\), pico em \((1/2,2)\), e \(f(x)=4(1-x)\) em \((1/2,1)\); fora de \([0,1]\) vale \(0\). Gráfico de \(F(x)\): \(F(x)=0\) para \(x<0\), cresce como \(2x^{2}\) em \([0,1/2]\) até \(1/2\), depois cresce segundo \(4x-2x^{2}-1\) em \((1/2,1)\) até \(1\), e fica \(1\) para \(x\ge1\). c. \(P(|X|>1/4)=\dfrac{7}{8}=0{,}875\) d. \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le 1/2,\\[4pt] 4x - 2x^{2} - 1, & 1/2<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1, \end{cases}
e. E(X)=\dfrac{1}{2}\] ; \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{24}\approx 0{,}0416667]

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